现代分析拓扑空间课件.ppt

宁德师范高等专科学校 * * 第三章第5节 拓扑空间 　本节是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性. * * 从度量空间谈起 　定理 设X,Y是两度量空间. f: X→Y, x0?X, 那么 (1)f在x0连续?若U是f(x0)的邻域, 则f –1(U)是x0的邻域; (2)f在X连续?若U是Y的开集, 则f –1(U)是X的开集. 证 (1)利用连续概念和邻域与概念. (2)“?” f –1(U)是每一点的邻域.“?”证每一点连续, 利用(1). 　由此可见, 度量空间的连续只与邻域或开集有关. 它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性. * * 1. 拓扑与拓扑空间概念 　定义3.5.1 设T是集合X的子集族, 若T满足: (1)X, ??T; (2) ?A, B?T?A∩B?T; (3) ?Ti?T (i? I), ∪Ti?T; 称T是X的一个拓扑. (X,T)是拓扑空间, T的元称为X的开集. 空间X的拓扑是X的全体开集的族. 　定义3.5.2 (X, ?)度量空间. Tρ由X的所有开集构成的族. (X, Tρ)称为由度量?诱导出的拓扑空间. 简称Tρ为度量拓扑. 度量空间?拓扑空间. * * 拓扑与拓扑空间概念 例3.5.1 平庸拓扑T={X, ?}. 平庸空间. 开集个数最少， X上最粗的拓扑 例3.5.2 离散拓扑T=P(X). 离散空间. X的每一子集是开集. 由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑. 开集个数最多， X上最细的拓扑 * * 拓扑与拓扑空间概念 　例3.5.3 有限补拓扑T={U?X|U?是X的有限子集}∪{?}. 验证T是X上的拓扑. (1)显然. (2)?A, B?X, 讨论A∩B时分两种情形, 一是A, B中有一是?, 二是A, B都不是?. (3)设T1?T, 不妨设???A0?T1, 利用De Morgan律. 有限补空间. 例3.5.4 可数补拓扑T={U?X|U?是X的可数子集}∪{?}. * * 2. 拓扑空间中的连续映射 　 定义3.5.3 X, Y是两拓扑空间. f: X?Y. 称f连续, 若Y中每一开集U的原象 f-1(U)是X中的开集. 定理3.5.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的. 定义3.5.5 f: X→Y称为同胚或同胚映射, 若f是一一映射且f及f-1均连续. * * 拓扑空间中的连续映射 定义3.5.6 称两空间X与Y同胚, 或X同胚于Y, 若存在从X到Y的同胚. 定理3.5.2 恒同映射同胚(X与X同胚); f同胚? f-1同胚(若X与Y同胚, 则Y与X同胚); 同胚的复合是同胚(若X与Y同胚, 且Y与Z同胚, 则X与Z同胚). 空间的同胚关系是等价关系. * * 拓扑空间中的连续映射 拓扑学的中心任务: 研究拓扑不变性质. 抽象化过程: 欧氏空间→度量空间→拓扑空间; 点距离→度量→开集.　 * * 3、邻域 定义3.5.7 设(X, T)是拓扑空间. x?X, U?X称为x的邻域, 如果存在V?T使x?V?U; 若U是开的, U称为x的开邻域. 定理3.5.3 设U?X. U是X的开集?U是它的每一点的邻域. 证 由定义得“?”; 利用开集之并为开得“?” . x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系, 记为Ux. * * 邻域(2) 定理3.5.4 Ux的性质: (1) X?Ux; ?U?Ux, x?U; (2) U, V?Ux?U∩V?Ux; (3) U?Ux且U?V?V?Ux; (4) U?Ux??V?Ux使V?U且?y?V, V?Uy. 证 由定义3.5.7得(1); 由开集的交是开集得(2); 由定义3.5.7得(3); 取V为满足x?V?U的开集. 由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然, 但不流行. * * 邻域(3) 利用邻域与开集的关系(定理3.5.3)导出开集, 从Ux(?x?X)具有定理3.5.4的性质的(1)-(4)出发, 定义T={U?X|?x?U, U?Ux}, 则(X, T)是拓扑空间, 且这空间中每一点x的邻域系恰是Ux. 定义3.5.8(点连续)