中国园林拓扑空间分析.doc

中国园林的拓扑空间 从1736年欧拉(Euler)解决了著名的哥尼 斯堡(Koenigsberg今加里宁格勒)的新旧普列格 河上的过桥问题(七桥问题)之后，叉于1750年 发现了以欧拉命名的著名公式——欧拉多面体 公式，从而产生了数学的一个重要分支～拓扑 学。它一出现就获得了数学其它分支以及物理 学、经济学等学科的广泛应用。在中国园林里我 们又发现很早就有了相当于拓扑学的应用，有的 是在这一门学科问世之前。 我们在本刊1995年12期《无限维空闻》一 文的结尾处曾经提到“韬扑空间”，今在《建筑百 家言》一书中见到了朱光亚先生的《拓扑同构与 中国园林》一文，文中发现的一个“同构”现象 不但非常重要，而且证明早在拓扑学出现之前中 国众多园林里已经得到了应用(尽管当时是无意 识地应用)。 拓扑学的直观的(这里暂不涉及点集拓扑和 代数拓扑)几个主要内容在中国园林里都有精彩 的应用。 一、网络(network) 著名的过桥问题是新旧普列格河上有七座 桥(图la)，能否游览河两岸及岛而每桥只走一次 的问题。图1b是一个改画的平面图——网络。能 否每桥只是一次就看能否将此网络一笔画成，所 以也是一个一笔画问题。欧拉得出了结论：网络 中的点(这里代表河岸及岛)都有若干条弧(这 里代表桥)，点上的弧为奇数的称奇顶点，偶数的 称偶顶点。若能一笔画成只有两种情况：1．从哪 个点开始又回到哪个点时，网络中的点全部必须 是偶顶点；2．从一个奇顶点出发，最后在另一个 奇顶点结束时，网络只有这两个奇顶点。因此欧 拉证明七桥网络不能一笔画成。 园林最好使游人按照一条观赏路线观赏各 景区，又尽量不走回头路和重复路，许多中国园 林满足了这个要求。如图2、3，图侧是它们的网 络。 二、地图四色 任何地图不管国与国、省与省是如何相邻 的，用四种颜色足以使之区分，绝不会出现相邻 王庭蕙王明浩 同色。不能少于四色，当然可以多于四色。 一座园林有若干景区，步移景异是中国园林 空间组织的重要特色，特别是相邻景区有明显差 异。但是在一座出色的园林里传统的手法均表现 在：1．虽各有差异但脉络相通，每隔一两个景区 有一点前后呼应之感；2．相邻景区虽手法不同， 但并不像暴发户那样杂乱无章，琳琅满目．有多 少景区就有多少花样，所有知道的手法一股脑地 堆在一个园子里；3．相隔开的幂区有时用同类 型手法，但布局和技法各有不同。这三种表现是 拓扑学中的“同态”但不一定“同构”。分析许多 中国园林，与四色地图相同，很多用四种同态的 空间布置。如图4、5。 拓扑学在环面上，证明与平面及球面不同． 相邻区域不同色最少数是7。环绕水面布置的园 林有的可视为环面拓扑。 三、同态(homomorphism) 拓扑学是一种几何学，但它是不量尺寸的几 何学，不研究其长度和角度等。欧几里得几何中 允许图形运动，但只能是刚性运动(平移、旋转、 反射等)，运动中图形上任何距离和角度保持不 变。在拓扑中，允许的运动则是弹性运动·图形 好像橡皮做的，可随意伸张、扭曲、拉伸、折叠· 之后图形变了，但其点、线、面等的数量及结构 关系不变。这种改变是图形的“拓扑变换”，在拓 扑变换时保持不变的性质是“拓扑性质”。上述过 桥问题的网络就是把现状图给予拓扑变换而没 有改变原来的结构性质。拓扑就是“对图形的拓 扑性质的研究”(美．Arnold《初等拓扑的直观概 念》)。“拓扑学就是研究图形的拓扑性质的几何 学”。(江泽涵《多面形的欧拉定理和闭曲面的拓 扑分类》。) “从一图形F1到另一个图形F2的一对一双 方连续映射称拓扑映射。从F1经拓扑映射可以 缛出F2时，我们说Fl、F2是同胚的 (homeomorphic)”。(苏步青《拓扑学初步》)。妒 以上述拓扑性质就是同胚图形所共同具有的几 何性质。 在拓扑雯换中图形变换有连续性，几个习形 同型，它们是同态的。 拓扑变换的图形结构相同，或同态的是一个同胚映射， 则是同构的(isomorphism)。数学百科全书对“同构”定义 为“对象之问或对象的系统之间的一种对应(关系)，表示它 们在某种意义下的结构相等”。“同构是一个同态且一一映 射”。 我们离开一下数学定义的同态，仅就同型以及便于转换 下一个题目——同构，列举几个例子进行研究。 1．克角空间。我们发现相当多的中心为水的园林，常在 一角设桥，有的是因引入水流而在溪上架桥，但有些并不是。 使人为之一惊的是他的对角总有相应的处理，有的也是一座 桥，虚对虚；有的是凸出建筑，或水池切去一角，实对虚。可 推想出其同态原型有一种平衡下的不平衡的旋转现象。这种 关系，在各个园子中尽可能“扭曲”、“拉伸”，但构成的旋转 性质没有改变。如图6