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浙江省2012年1月高等教育自学考试 微分几何试题 课程代码：10022 一、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。( ) 2.LN-M2是内蕴量。( ) 3.椭圆的特征是曲率k为大于零的常数,挠率τ=0。( ) 4.锥面和球面是等距的。( ) 5.K=0的曲面是极小曲面。( ) 二、单项选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.向量函数(t)具有定长的充要条件是( ) A.′(t)·(t)=0 B.′(t)×(t)= C.′(t)//(t) D.′(t)·(t)≠0 2.曲线=(s)在点P(s)的基本向量为。s是弧长参数，则下列错误的是( ) A.=2 B.=2-2 C.=-2+2 D.=-2 3.由方程=0求得的k是( ) A.高斯曲率 B.主曲率 C.一般法曲率 D.平均曲率 4.以下说法正确的是( ) A.法曲率kn≥0 B.法曲率是曲率向量在主法向量上的投影 C.法曲率是法截线的曲率 D.法曲率的绝对值是法截线的曲率 5.曲线Γ是曲面S上非直线的渐近线，以下说法不正确的是( ) A.在Γ上每一点曲面的法线与Γ的副法线重合 B.在Γ上每一点曲面的法线与Γ的主法线垂直 C.在Γ上每一点曲面的切平面是曲线Γ的密切平面 D.在Γ上每一点曲面的法线与Γ的主法线重合 6.曲面=(u,v)上，曲线(C)在P点的基本向量为，曲面在P点的单位法向量为，=×。则曲线(C)在P点的测地曲率kg为( ) A.k· B.k· C.· D.· 三、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设曲线=(s)，s是曲线的自然参数，则|′(s)|=________。 2.若曲面∑和平面等距，则∑的高斯曲率K=________。 3.在曲面上u曲线的共轭曲线族的微分方程是________。 4.曲面的坐标网为正交网的充分必要条件是________。 5.曲面上满足L=M=N=0的脐点称为________。 6.曲面的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是这族测地线的正交轨线，则这个坐标网称为________。 四、计算题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1.求曲线(t)={(1－sin t),(1－cos t),t}的曲率和挠率。 2.求u-曲线的正交轨线的方程。 3.求曲面z=xy2的渐近线。 4.求椭圆柱面=1在任意点的切平面方程。 5.求第一基本形式为ds2=的曲面的高斯曲率。 五、证明题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1.证明若向量函数(t)平行于固定平面则有（,′,″）=0。 2.求证如果测地线同时为渐近线，则它是直线。 3.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点。 4.证明曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2为平面曲线。 5.证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1。 10022# 微分几何试题 第2页 共3页