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第六章 变分法模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为 最优控 制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题 又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。 §1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题 解的必要条件和最大 值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设S 为一函数集合，若对于每一个函数x (t) ∈ S 有一个实数J 与之对应，则称J S J (x (t)) S J 是对应在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。 例如对于xy 平面上过定点A(x ,y ) 和B (x , y ) 的每一条光滑曲线 y (x ) ，绕 x 1 1 2 2 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 y (x ) 的泛函J (y (x )) 。由微积分知识不难 写出 x2 2 J (y (x)) = ∫ 2πy (x) 1+ y (x) dx （1） x1 容许函数集可表示为 1 S = {y (x) | y (x) ∈ C [x , x ],y (x ) = y , y(x ) = y } （2 ） 1 2 1 1 2 2 最简单的一类泛函表为 t 2  J (x (t)) = ∫ F (t,x ,x )dt （3 ） t 1 t x  被积函数F 包含自变量 ，未知函数 及导数x 。（1）式是最简泛函。 1.1.2 泛函的极值 泛 函 J (x (t)) 在 x 0 (t) ∈ S 取 得 极 小值 是指 ，对 于任 意 一 个 与 x 0 (t) 接 近 的 x (t) ∈ S ，都有J (x (t)) ≥ J (x 0 (t)) 。所谓接近，可以用距离d (x (t), x0 (t)) ε 来度量，而距 离定义为   d (x (t),x 0 (t)) = max {| x (t) − x 0 (t) |,| x (t) − x 0 (t) |} t ≤t ≤t 1 2 泛函的极大值可以类似地定义。x 0 (t) 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为 泛函的自变量