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第六章 边值问题差分法简介 我们考虑如下简单边值问题。 其中，为已知函数，（为了解方程收敛）。 为已知常数。 我们要求函数，实质是关心两个数域之间的对应关系： 所以我们知道一系列对应的就足够了， 所以这类问题解决思路是将方程离散化，转化为解一个现行方程组。 首先，用分点 将区间n等分，h为步长，称为节点。 其次在[a，b]内每个内部节点 上用数值微分公式。 替代原方程中的二阶导数得在节点满足的关系是式： 注意：上式是关于未知数为的线性方程。 我们有n-1个这样的方程，组成方程组。 未知数，共n+1个。 再加上边值条件，n+1个未知数，n+1个方程，方程组封闭。 解此线性方程组，得到问题的数值解。 方程组为： 矩阵形式： 由于 所以，对角占优矩阵，用追赶法求解。 解决实际问题， 首先，用分点 将区间n等分； 再直接计算得到线性方程组出发，解之。 例：一维无限深势阱 边值问题为： 令，则有： 设a=1 故区间为[-1，1] 离散化 N=10，步长 即 常数 * 非零解= ** 解出近似本征值代入*，解出yi 白色 REAL AA(120,120),BB(120),Y(120) G(x)=-10. F(x)=0. A=-1. B=1. D1=0 D2=0 N=100 H=(B-A)/N h=0.02 ETT=-(2-h*h) ett=-1.5 write(*,*)ett=,ett DO I=1,N-1 DO J=1,N-1 AA(I,J)=0. IF(ABS(J-I).EQ.1) AA(I,J)=1. ENDDO AA(I,I)=-1.0*(2.+h*h*G(A+I*H)) BB(I)=H*H*F(A+I*H) ENDDO BB(1)=BB(1)-D1 BB(N-1)=BB(N-1)-D2 Y(1)=1.0 Y(2)=-1.0*ETT*Y(1) c y(2)=1. DO I=3,N-1 Y(I)=-1.0*Y(I-2)-ETT*Y(I-1) ENDDO DO 200 I=1,N-1 200 WRITE(*,*) A+I*H,y(I) STOP END