浙大四版《概率论与数理统计》第一章内容提要及课后习题解答.doc

第一章 概率论的基本概念 内容提要 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．随机试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 3．几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 二 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） （2） A与B 互逆（对立事件） , （3） A与B相互独立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B|A）=P（B） （P（A）0）. （0P（A）1）. P（B|A） =P（B|） （ 0 P（A） 1 ） 注: 若（0P（B）1）,则独立 P（A|B）=P（A） （P（B）0） （0P（B）1）. P（A|B）=P（A|） （0P（B）1） P（|B）=P（|） （0P（B）1） （4） A, B, C两两独立 P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）. （5） A, B, C相互独立 P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）; P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 2. 重要公式 （1） （2） （3） （4） 若A1, A2,…,An两两互斥, 则. （5） 若A, …, A相互独立, 则 . . （6） 条件概率公式: （P（A）0） 三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式 1． 乘法公式： 2． 全概率公式： 3．Bayes公式： 4．二项概率公式: ,　 课后习题解答 随机试验与随机事件 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ，n表小班人数 （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n，………} （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 2. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 表示为： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C) （2）A，B都发生，而C不发生。 表示为： 或AB－ABC或AB－C （3）A，B，C中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A，B，C都发生， 表示为：ABC （5）A，B，C都不发生， 表示为：或S－ (A+B+C)或 （6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生 相当于中至少有一个发生。故 表示为：。 （7）A，B，C中不多于二个发生。 相当于：中至少有一个发生。故 表示为： （8）A，B，C中至少有二个发生。 相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC 频率与概率 3.（1）设A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一个发生的概率。 解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 。 （2）已知 ，求 的概率 解： （3）已知 （i）若A，B互不相容，求； （ii）若，求 解：（i）因为A，B互不相容，所以， （ii）因为，所以. 4、设A，B两个事件. （1）已知，验证A=B。 （2）验证事件A和B恰有一个发生的概率为 解：（1）因为，所以，A=B （2）事件A和B恰有一个发生等价于，所以 古典概型 5、10片药片中有5片是安慰剂. （1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率； （2）从中每次取1片，作不放回抽样，求前3次都