《二零一六年考研数学之函数极限连续》.pdf

第一讲 函数|、数列及其极限、函数的连续性 考试内容 (1)函数的概念及表示法; 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性; 复合函数、反函数、分段函数和隐函数; 基本初等函数的性质及其 图形; 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立. (2)数列极限与函数极限的定义及其性质 (3)函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷 小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准 则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 : (4) 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区 间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的 函数关系式。 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极 限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重 要极限求极限的方法． 8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无 穷小求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点 的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函 数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用 这些性质． 1 1.1 预备知识 前言： 内容抓三基；概念深五面；作题重三点. ⎧x x ≥0 （1）绝对值函数 y x ⎨ −x x 0 ⎩ x ≥0, ∀x ∈R ; x 0 ⇔x 0 a ≥0, x ≥a ⇔x ≥a or x ≤−a ； a ≥0, x ≤a ⇔−a ≤x ≤a ； （2 ）基本不等式 绝对值不等式： − x ≤x ≤ x , 0 ≤x + x ≤2 x 三角不等式： ∀x ,y ∈R ， x +y ≤ x + y , x −y ≥ x −y 1 2 2 平均值不等式： ∀x ,y ∈R ， (x +y ) ≥ x y 2 1 n n 若 xi ≥0,i 1, , n , ∑xi ≥n ∏xi n i 1 i 1 对任意实数x ∈ 0,π 2 sin x ≤x ≤tan x ⎡⎣ ) π ⎛