《二零一六年考研数学36技讲第(16-20)》.pdf

水木艾迪考研辅导班 电话(学研大楼) (清华理科楼) 第 四 讲 三至四讲 主讲教师 谭泽光 三十六技之十六： “多元极值不怕繁，求解抓住两个三” 三十六技之十七： “多元重积抓三定，计算正确心要静” 三十六技之十八： “分块对称有技巧，走上捷径花时少” 三十六技之十九： “曲线积分明三变，路径无关是重点” 三十六技之二十： “空间曲面有方向，两个公式帮忙算” **************************************** 三十六技之十六：“多元极值不怕繁，求解抓住两个三” 多元极（最）值问题应抓住“三个什么” “三个步骤” 。 这方面的问题有两种类型：一种是给出一个多元函数，要 求在指定区域上求出最值点或极值点；第二类是所谓的极(最) 值的应用问题。 对这两类问题,首先都要要明确：“什么函数？在什么条 件下？求什么极（最）值？”即明确“三个什么？”对应用 问题来说，这一步的重要性更为突出。 具体求解有三个步骤： 第一步：解决“三个什么？”通常写成如下形式： ⎧ Max 或 Min f P ⎪ ( ) ( ) ⎨ P ∈D ⎪⎩ 第二步：求解, 通常是, 求驻点，并判断驻点，是否是极值 点及极值点的性质,这里要用到二次型判别的条件。 第三步：分析解是否符合题意？ 例16-1．设f (x ,y ,z ) 有连续的偏导数，又设在约束条件 x −2y −2z 10下, 函数f (x ,y ,z ) 条件最大极为f (M 0 ) ，又设 ∂f 在点M 0 处 −2 ，则曲面f (x ,y ,z ) f (M 0 ) 在点M 0 处的法 ∂x ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ 向量⎜ f (M 0 ) , f (M 0 ) , f (M 0 ) ⎟ （ C ）. ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ A. (1,−2,−2) B. (−2,1,1) C. (−2,4,4) D. (−1,2,2) 清华大学 谭泽光 2010,11 1 培训网: 水木艾迪考研辅导班 电话(学研大楼) (清华理科楼) ( ) 解：令L f (x , y , z ) +λ x −2y −2z −10 ， 在M 0 点有 ⎧ ′ ′ L M f M λ ( ) ( ) + 0 ⎧ ′ − ( ) 2 x 0 x 0 λ f x M 0 ⎪ ′ ′ ⎪ ′ ⇒ ( ) 2 4 ⎨L x (M 0 ) f y (M 0 ) −2λ 0 ⎨f y M 0 λ . ⎪ ′ ′ ⎪ ′ L (M ) f (M ) −2λ 0 f z (M 0 ) 2λ 4 ⎩ x 0 z 0 ⎩ Max f (x, y, z) ⎧ 注：⎨