专题向量与圆锥曲线.doc

专题12 向量与圆锥曲线 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（C） （A） （B） （C） （D） 3．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ D ） A． B． C． D． 4．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ B ） （A）　　　（B）　　　（C）　　　（D） 5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 ． 6．已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和(ABC的面积S。 【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线是以 为焦点的双曲线的左支， 且，易知， 故曲线的方程为 设，由方程组 消去，得 又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得 又∵ 依题意得 整理后得 ∴或 但 ∴ 故直线的方程为 设，由已知，得 ∴， 又， ∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴，点的坐标为，到的距离为 ∴的面积. ★★★高考要考什么 【考点透视】 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 【热点透析】 向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。 ★★★突破重难点 【范例1】设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2） （1）求直线AB方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D 是否共圆，为什么？ 解析：（1）法一：显然AB斜率存在。 设AB：y-2=k(x-1) 由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当△0时，设A（x1,y1），B（x2,y2），则 ∴ k=1，满足△0 ∴ 直线AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）， 则 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) ∵ x1≠x2 ∴ ∴ ∴ AB：y=x+1 代入得△0. （2）设A、B、C、D共圆于⊙M(，因AB为弦，故M(在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M(为CD中点。因此只需证CD中点M满足|M(A|=|M(B|=|M(C|=|M(D| 由得A（-1，0），B（3，4）. 又CD方程：y=-x+3 由得x2+6x-11=0. 设C(x3,y3)，D(x4,y4)，CD中点M(( x0,y0) 则 ∴ M(（-3，6） ∴ |M(C|=|M(D|=|CD|= 又|M(A|=|M(B|= ∴ |M(A|=|M(B|=|M(C|=|M(D| ∴ A、B、C、D在以CD中点，M(（-3，6）为圆心，为半径的圆上 【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。 【文】在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y2＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直