专题12 向量与圆锥曲线(教师版).doc

专题12 向量与圆锥曲线 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（C） （A） （B） （C） （D） 3．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是D ） A． B． C． D． 4．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为B ） （A）　　　（B）　　　（C）　　　（D） 5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是． 6．已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和(ABC的面积S。 【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支， 且，易知， 故曲线的方程为 设，由方程组 消去，得 又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得 又∵ 依题意得 整理后得 ∴或 但 ∴ 故直线的方程为 设，由已知，得 ∴， 又， ∴点将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴，点的坐标为到的距离为 ∴的面积【范例1】设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2） （1）求直线AB方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D 是否共圆，为什么？ 解析：（1）法一：显然AB斜率存在。 设AB：y-2=k(x-1) 由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当△0时，设A（x1,y1），B（x2,y2），则 ∴ k=1，满足△0 ∴ 直线AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）， 则 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) ∵ x1≠x2 ∴ ∴ ∴ AB：y=x+1 代入得△0. （2）设A、B、C、D共圆于⊙M(，因AB为弦，故M(在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M(为CD中点。因此只需证CD中点M满足|M(A|=|M(B|=|M(C|=|M(D| 由得A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3 由得x2+6x-11=0设Cx3,y3)，Dx4,y4)，CD中点M( x0,y0) 则∴ M(（-3，6） ∴ |M(C|=|M(D|=|CD|=又|M(A|=|M(B|=∴ |M(A|=|M(B|=|M(C|=|M(D| ∴ A、B、C、D在以CD中点，M(（-3，6）为圆心，为半径的圆上 【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。 【文】在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y2＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中， 由得 又 ∵ ， ∴， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上； 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0). 【