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第三章 差分方程模型 §1、 差分方程 设有未知序列，称 （1） 为阶差分方程。 若有，满足 则称是差分方程（1）的解，包含个任意常数的解称为（1）的通解， 当为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。 [例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第月末共有对兔子，试建立关于的差分方程。 [解] 因为第月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有 这是著名的裴波那契数列。 [例2] 汉诺塔问题 将个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩上，大的在下，小的在上。现将此 个盘移到空桩或上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩也可利用。设移动个盘的次数为，试建立的差分方程。 [解] 先将桩上的个大小不同的圆盘按题设要求移到上，这需要移动次，再将上的最大盘移到上，这需要移动一次，最后将上的个盘按要求移到上，这又需要移动次。 所以，差分方程为 §2、 差分方程的解法 一.常系数线性齐次差分方程 形如 ——（1） 其中为常数，且，称为阶常系数齐次线性差分方程。 方程 ——（2） 称为差分方程（1）的特征方程。特征方程的根，称为特征根。 根据特征根的不同可分为以下三种情形： （1）如果特征方程有个相异的实根，则差分方程（1）的通解为 其中为任意常数。 [例3] 求差分方程的特解？ [解] 特征方程为 其特征根为， 因此，差分方程的通解为 由初始条件得， 所以，差分方程满足初始条件的特解为 （2）如果特征方程有一对共轭复根，其余的为相异实根 ，则差分方程（1）的通解为 其中为任意常数。 [例4] 解差分方程 [解] 特征方程为 其特征根为， 因此，差分方程的通解为 （3）如果特征方程有重实根，其余的为相异实根 ，则差分方程（1）的通解为 其中为任意常数。 [例5] 求差分方程的特解？ [解] 特征方程为 其特征根为 因此，差分方程的通解为 由初始条件得， 所以，差分方程满足初始条件的特解为 注：如果特征方程有多对共轭复根或多个重根的情形类似处理。 常系数线性非齐次差分方程 形如 ——（3） 其中为常数，且不恒为零，称为阶常系数非齐次线性差分方程。 定理 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次差分方程的特解。即 其中，是对应齐次差分方程的通解 是非齐次差分方程的一个特解 求非齐次差分方程的一个特解，可参照常微分非齐次方程的解法，具体如下： （1） 为的多项式 如果为重特征根，则特解形式为 其中待定多项式与已知多项式的次数相同。 （2）或 如果为重特征根，则特解形式为 其中为待定系数 叠加原理 设非齐次线性差分方程 ——（4） 且分别为下列差分方程 的解 则是（4）的解。 可推广到多个函数的情形。 [例6] 求解汉诺塔问题 [解] 对应的齐次方程的特征方程为 通解为 而，1是的0次多项式，1不是特征方程的根，所以特解形式为 非齐次方程的通解为，由初始条件得 [例7] 解差分方程 [解] 对应的齐次方程为 特征方程为 通解为 差分方程——（1） 由于1不是特征方程的根，所以它的特解形式为代入差分方程（1）得 差分方程——（2） 由于2是特征方程的二重根，所以它的特解形式为代入差分方程（2）得 由解的结构与叠加原理得 三．母系数法 是解差分方程初值问题（数学模型中经常出现）的一种很有效的方法，适用于解常系数差分方程，也适用于某些变系数差分方程和非线性差分方程。 定义 设为一无限数列，则函数称为数列的母函数，其中变数属于0点的某个开区间。 主要性质： （1）若数列和的母函数分别为和，则数列的母函数为 （2）若数列的母函数为，则数列的母函数为，其中为常数 （3）若数列的母函数为，则 数列的母函数为 数列的母函数为 ………………………………………… 数列的母函数为 [例8] 求差分方程满足的解？ [解] 设 则 对差分方程两边乘以，然后从到求和得 所以差分方程满足的解为 [例9] 求差分方程满足的解？ [解] 设 则 对差分方程两边乘以，然后从到求和得 所以差分方程满足的解为 [例10] 求差分方程满足的解？ [解] 设 则 对差分方程两边乘以，然后从到求和得 所以差分方程满