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结构力学电子教案 第七章 静定结构位移计算 * * §7－4 图 乘 法 一．图乘法的计算公式 梁和刚架在荷载作用下的位移式 当结构的各杆段符合下列条件时： （1）杆轴为直线； （2）EI＝常数； （3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形 则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作。 等截面直杆AB段 以杆轴为 x 轴，以 图的延长线与 x 轴的交点O为坐标原点， 沿AB杆段为常数 式中， 为 图中有阴影线的微面积，故 为微面积对 y 轴的面积矩。 即为整个 图的面积对 y 轴的面积矩。 根据合力矩定理，它应等于 图的面积 乘以其形心c到y轴的距离 ，即 由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 ，再除以EI。这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。 根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各点： （1）必须符合上述三个条件； （2）纵距 只能取自直线图形； （3） 与 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号 位移计算中常见的几种图形的面积和形心的位置 在抛物线图形中，注意顶点是指该点的切线平行于底边的点。 h 顶点 顶点 二．图形分解成和图乘的分段叠加 在实际计算中，可将复杂的图形分解成几个简单的图形，然后分别将简单的图形相乘后再叠加。 a b c d y1 y2 a b c d y1 y2 图形的纵距a、b 或c、d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样，可分解为位于基线两侧的两个三角形，分别与另一图形相乘，然后叠加。 对于在均布荷载作用下的任何一直杆段AB，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 MA MB 在图乘法中，当yc所属图形不是一段直线而是若干段直线组成时，应分段图乘，再进行叠加。 在图乘法中，当各杆段的截面不相等时，应分段图乘，再进行叠加。 三．图乘法位移计算举例 例1 试求图a 所示刚架C 点的竖向位移 。 解 （1）作实际状态的 。 （2）建立虚拟状态，并作 图。 （3）进行图形相乘，求C点竖向位移 。 1 l/2 1 l/2 y1 y2 y3 例2 图示变截面杆AB 段的弯曲刚度为4EI，BC段的弯曲刚度为EI，试求C点的竖向位移 。 解 绘出实际状态及虚拟状态的 、 图。 y1 y2 y3 y4 y5 72 20 MP图 * *