浙江省2007高等数学(微积分)竞赛试题(解答).doc
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浙江省高等数学竞赛分析
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2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) ?
? 周晖杰 2008/11/2
计算题（每小题12分，满分60分）
1、求.
解:
。
2、求.
解:
.
3、求的值,使.
解:
被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:
, 解得: .
4、计算.
解: , 其中如右图
.
5、计算,其中为圆柱面.
解:
被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,
二、(20分)设,
,求: (1);(2) .
解: (1)
,
;
(2)
(图来说明积分上下)
.
三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点重合，若在轴正向上，求：
通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；
此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.
解:
:
旋转曲面上任意取一点
则的坐标为： ，
化简得：所求的旋转曲面方程为：，
（2），故过垂直轴的平面方程为：
令，解得在坐标面上的曲线方程为：，
图中所求的旋转体的体积为：
.
四、(20分) 求函数,在的最大值、最小值.
解：
由于具有轮换对称性,令, 或
解得驻点: 或
对, ,
在圆周上,由条件极值得:
令
解得: ,,,,,
,,,,,;
在圆周上,由条件极值得:
令
解得: ,,, ,,
,,,
,,;
,在的最大值为,最小值为.
五、(15分)设幂级数的系数满足,,,求此幂级数的和函数.
证明：
而,
即: 一阶非齐次线性微分方程常数变易法,
求的通解: ,
令代入得:
,
即:
故的通解为: ,
由于,解得, 故的和函数.
法二：，同学们自行完成。
六、(15分)已知二阶可导,且,,,
证明:.
若,证明.
证明: (1) 要证明,
只需证明,
也即说明是凹函数,
, ,
故是凹函数, 即证.
(2)
,
即: .
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