2025年沪科版九年级下册数学期末复习专题24.6 切线的综合（压轴题专项讲练）（原卷版）.docx
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专题24.6切线的综合
【典例1】如图，延长⊙O的直径AB，交直线DG于点D，且BD=12AB=10，∠ADG=60°．射线DM从DG出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段OC从OB出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2α，直线AC与射线DM相交于点H，与直线DG相交于点F，其中0°α180°
（1）当α=20°时，弧BC的长为________；
（2）当α=120°时，判断△ADH的形状，并求它的周长；
（3）△ADH的外心能否在边DH上，如果能，求出α的度数；如果不能，请说明理由；
（4）若射线DM与⊙O有公共点，直接写出α的取值范围；
（5）当tan∠BAC=35
【思路点拨】
（1）根据弧长公式可得答案；
（2）首先证明出△AOC为等边三角形，进而得到∠OAC=60°，可证明出△ADH为等边三角形，然后根据三角形周长公式求解即可；
（3）若△ADH的外心在边DH上，则边DH应为直角三角形的斜边，即转化为判断∠DAH是否可以为90°的问题；
（4）设射线DM与⊙O相切于点Q，连接OQ，首先根据题意得到∠OQD=90°，OB=OQ，进而得到α=∠ADG?∠ODQ=30°，然后当射线DM旋转到再次与⊙O相切时，如解图②所示，此时α=90°，进而得到
（5）分类讨论，当点H在AD右侧时，当点H在AD左侧时，利用锐角三角函数表示出AT、AF计算出DF．再利用角角相似得△DHF∽△ADF得出
【解题过程】
（1）解：∵α=20°，∠BOC=2α，
∴∠BOC=40°，r=1
∴BC
故答案为：20π9
（2）如解图①，
当α=120°时，∠AOC=2α?180°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC=60°．
∵∠ADH=∠MDG?∠ADG=120°?60°=60°，
∴△ADH为等边三角形．
∵BD=1
∴AD=3BD=30，
∴△ADH的周长为3AD=90；
（3）不能．理由如下：
若△ADH的外心在边DH上，则∠DAH=90°，如解图②所示．
∵∠DAH=90°，
∴HF与⊙O相切于点A．
∵点C是直线HF与⊙O的交点，
∴点C为切点，点A与点C重合．
∴∠BOC=180°，即2α=180°，
解得α=90°，不合题意α≠90°，舍去．
∴符合条件的△ADH不存在，即△ADH的外心不能在边DH上；
（4）30°≤α
根据射线DM与⊙O有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点．
如解图③，设射线DM与⊙O相切于点Q，连接OQ，
则∠OQD=90°，
∵BD=AB=10，
∴BD=OB=OQ，
∴∠ODQ=30°，
∴α=∠ADG?∠ODQ=30°．
射线DM继续绕点D逆时针旋转，与⊙O有两个公共点，当射线DM旋转到再次与⊙O相切时，如解图②所示，此时α=90°．
综上所述，α的取值范围为30°≤α
（5）情况1：当点H在AD右侧时，
如解图④，过点F作FT⊥AD于点T，
设TD=t，由∠ADG=60°可得，FT=TD·tan
又∵tan∠BAC=35
∴AT=5t，
∴AD=AT+TD=5t+t=30，
∴TD=5，FT＝53
∴AF=A
在Rt△DTF中，DF=
∵∠DHF=∠ADM+∠BAC=(60°?α)+α=60°=∠ADF，∠DFH=∠AFD，
∴△DHF∽
∴DFAF
∴DF2=AF·HF
∴HF=10
情况2：当点H在AD左侧时，
如解图⑤，过点F作FK⊥AD，交AD的延长线于点K，
设DK=t，由∠FDK=∠ADG=60°，
同理可得FK=3t，
∴AD=AK?DK=5t?t=30，
∴t=15
∴FK=1532
∴DF=FK
在Rt△AFK中，由勾股定理得FA=
∵∠FDH=180°?α，∠AOC=2α?180°，OA=OC，
∴∠OAC=1
∴∠FDH=∠OAC，
∵∠HFD=∠DFA，
∴△HFD∽
∴DFAF
∴FD2=AF·HF
∴HF=15
综上所述，当tan∠BAC=35时，HF的值为10
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°．点F在直线l上，AF=8，EF⊥直线l，垂足为点F且EF=6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆
发现：AM的最小值为_______，AM的最大值为_______，OB与直线l的位置关系是____．
思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积．
2．（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD边长为2．点O是BC边的中点，点E是正方形内一个动点，且EO=1．
（1）连接BE，CE，求
（2）连接DE，若∠D