2025年沪科版九年级下册数学期末复习专题24.3 圆与四边形的综合（压轴题专项讲练）（解析版）.docx
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专题24.3圆与四边形的综合
【典例1】定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A=∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．
（1）如（图①），A、B、C、D是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，延长BP到Q，使AQ=AP．求证：四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如（图②），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC=DC，若⊙O的半径为5，AB=6，求AC的长；
（3）如（图③），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，请直接写出BD
【思路点拨】
（1）可证△APQ是等边三角形，可得∠Q=60°=∠QAP，由圆的内接四边形的性质可得∠QPA=∠ACB=60°=∠Q，由四边形内角和定理可证∠QAC≠∠QBC，可得结论；
（2）如图②，连接BD，由准平行四边形定义可求∠BAD=∠BCD=90°，可得BD是直径，由勾股定理可求AD=8，将ΔABC绕点C顺时针旋转90°得到ΔCDH，可得AB=DH=6，AC=CH，∠ACH=90°，∠ABC=∠CDH，由勾股定理可求AC的长；
（3）如图③，作△ACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，由准平行四边形定义可求∠ABC=∠ADC=60°，可得∠AOC=120°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求OE=1，CO=2OE=2，由勾股定理可求OB，由当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，即可求解．
【解题过程】
解：证明：（1）∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠APQ=60°，且AQ=AP，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q=60°=∠QAP，
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠QPA=∠ACB=60°，
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC=360°，
∴∠QAC+∠QBC=240°，
且∠QAC=∠QAP+∠BAC+∠PAB=120°+∠PAB120°，
∴∠QBC120°，
∴∠QAC≠∠QBC，且∠QPA=∠ACB=60°=∠Q，
∴四边形AQBC是准平行四边形．
（2）如图②，连接BD，
∵AB≠AD，BC=DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴BD是直径，
∴BD=10，
∴AD=B
将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，
∴AB=DH=6，AC=CH，∠ACH=90°，∠ABC=∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠CDH=180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH=AD+DH=14，
∵AC
∴2AC
∴AC=72
（3）如图③，作ΔACD的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠ABC=60°，∠ABC=60°，AC=
∵四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠AOC=120°，且OE⊥AC，OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=30°，CE=AE=3
∴OE=1，CO=2OE=2，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，∠ECF=90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∴CE=OF=3，OE=CF=1
∴BF=BC+CF=3，
∴BO=B
∵当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，
∴BD长的最大值=BO+OD=23
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若BF=2，DH=5，求⊙O
【思路点拨】
（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证；
（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得BD=2DH=25．在Rt△ADF和Rt△BDF
【解题过程】
（1）证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ADE=90°．
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA=90°．
∴∠AFD=∠CED=90°．
在△DAF和△DCE中，∠AFD=∠CED∠A=∠C
∴△DAF≌△DCE（AAS）．
∴AF=CE．
（2）解：如图，连接