2025年沪科版九年级下册数学期末复习专题24.7 圆的综合（压轴题专项讲练）（解析版）.docx
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专题24.7圆的综合
【典例1】如图1，直线l1⊥l2于点M，以l1上的点O为圆心画圆，交l1于点A，B，交l2于点C，D，OA=5，OM=4，点E为AD上的动点，CE交AB于点F，AG⊥CE于点G
??
（1）若∠CAD=50°，求AD的长；
（2）如图2，过A作AH⊥DE交DE延长线于点H，连接AE、DE，是否存在常数k，使CE?DE=k?EG成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点G在AD的右侧时，请直接写出△ACE面积的最大值．
【思路点拨】
（1）连接OD，根据垂径定理和三角形内角和定理求得∠AOD，利用弧长公式即可求得答案；
（2）连接AE，根据题意证明△AGC≌△AHD，得AG=AH，CG=DH，再证明Rt△AEG≌
（3）△ACE面积的最大则点E到AC距离最大即可，利用垂径定理求解即可，但需验证点G在AD的右侧，当AG与AD重合时，作EN⊥AC于N′，连接DE，利用等面积求得CG和AG的长，再证明△ACG∽△EDG，得DEGE=ACAG，△ACG～△ECN′
【解题过程】
（1）解：连接OD，如图1．
??
∵AB垂直平分线段CD，
∴AC=AD，
∵∠CAD=50°
∴∠CAB=∠DAB=25°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=25°，
∴∠AOD=180°?25°?25°=130°，
∴CAD
（2）连接AE，如图2，
??
∵AG⊥CE，AH⊥DH，
∴∠AGC=∠H=90°，
∵∠ACG=∠ADH，AC=AD，
∴△AGC≌
∴AG=AH，CG=DH，
∵∠AGE=∠H=90°，AE=AE，
∴Rt△AEG≌
∴EG=EH，
∴CE?DE=CG+EG
∵CE?DE=k?EG，
∴k=2；
（3）连接OC，过点O作ON⊥AC于N，延长NO交圆于点E，如图3，
??
此时，E到AC距离最大，△ACE面积最大，
∵OC=OA=5，OM=4，OM⊥CD，
∴CM=3，
在Rt△ACM中，AC=C
∵ON⊥AC，
∴CN=3
∴ON=O
∴EN=ON+OE=10+
∴S△ACE
验证：当AG与AD重合时，作EN⊥AC于N′，连接DE
??
∵S△ACD
∴CG=CD?AM
即AG=A
∵∠AGC=∠EGD，∠ACG=∠ADE，
∴△ACG∽
∴DEGE
又∵CE?DE=CG+GE?DE=2GE，
∴GE=4
∴CE=CG+GE=13
∵∠CN′E=∠CGA
∴△ACG～△ECN
∴CEN
∴EN′=
∴当EN过点O时，G在AD右侧，
∴S△ACE
1．（2023上·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校联考阶段练习）如图，⊙O的弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点，且tan∠BAC=34,△ABC的外角∠BAF的平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线
（1）求证：PB=
（2）设PA=x,PE=y，求y关于x的函数解析式；
（3）若点A在点P的右侧，记△ABE、△ABC、△ACE的面积分别为S、S1、
①求CE的值；
②求证：AB为直径．
【思路点拨】
（1）根据圆的性质证明即可；
（2）根据圆的性质结合勾股定理计算出PC的长度，然后由△APC∽△CPE计算即可；
（3）CE=x，根据154S
（4）根据题意证明∠ACB=90°即可．
【解题过程】
（1）解：如图，连接PC，
∵四边形ACBP内接于⊙O，
∴∠PBC+∠PAC=180°
∵∠PAF+∠PAC=180°
∴∠PAF=∠PBC
∵外角∠BAF的平分线AP交⊙O于点P，
∴∠PAF=∠PAB
∴∠PBC=∠PAB
∵∠PCB=∠PAB
∴∠PBC=∠PCB
∴PB=PC
∴PB=
（2）如图，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，
由垂径定理得，OD垂直平分BC，且直线OD经过点P
∴BD=CD=3
∵PB=PC
∴∠BPD=∠CPD=∠PBO
∴∠BOD=∠BPD+∠PBO=2∠∠BPD=∠BPC
∴∠BOD=∠BAC
∴
∴OD=43
∴OP=OB=5
∴PD=9，
∴PB=PC=
∵∠PBC=∠PCB=∠PAB
∴∠E=180°?∠PBC?∠BPE=180°?∠PAB?∠BPE=∠PBA
∵∠PCA=∠PBA
∴∠PCA=∠E
∵∠APC=∠CPE
∴△APC∽△CPE
∴
即，P
设PA=x,PE=y，
∴90=x?y
∴y关于x的函数解析式为：y=90
（3）①设CE=x，高为?，则BE=6+x
∴S=1
S
S
∵
∴
∴
∴2
∴
∴x1
∴CE=24；
②如图，
设∠PBA=∠PCA=x，
由（2）得∠BPC=2x，∠PCB=
∴∠ACB=∠PCA+∠PCB=90°?x+x=90°
∴AB为直径．
2．（2023上·浙江温州·九年级温州市第八中