专题1.2 矩形中的综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（原卷版）.pdf

专题1.2矩形中的综合

【典例1】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相

向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．

（1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形；

（2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．

【思路点拨】

（1）证明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出结论；

（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”得EF＝GH，再证四边形AGHD是平行四边形，得GH＝BC＝4，

然后分两种情况分别求出t的值即可．

【解题过程】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠GAF＝∠HCE，

∵G、H分别是AB、DC的中点，

∴AG＝BG，CH＝DH，

∴AG＝CH，

∵AE＝CF，

∴AF＝CE，

在△AFG与△CEH中，

=

∠=∠

=

∴△AFG≌△CEH（SAS），

∴GF＝HE，

同理：GE＝HF，

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∴AC=2+2=32+42=5，

由（2）可知四边形EGFH是平行四边形，

连接GH，

∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，

∴AG＝DH，AG∥DH，

∴四边形AGHD是平行四边形，

∴GH＝BC＝4，

∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：

①如图1，

AE＝CF＝t，

则EF＝5﹣2t＝4，

解得：t＝0.5；

②如图2，

AE＝CF＝t，

则EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，

解得：t＝4.5；

综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．

1．（2021•富平县二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝

12，BD＝16，则OE的长为（）

A．8B．9C．10D．12

2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，

BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（）

A．25B．5C．3D．4

3．（2020春•江津区期中）如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE

＝BC，则AE•BE的值为（）

21

A．2B．1C．D．

22

4．（2021•灞桥区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、

AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（）

A．AD＝3B．AD＝4C．AD＝5D．AD＝6

5．（2021春•梁山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P

不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）

12123030

A．≤AM＜6