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材料力学习题详细解答之十一 第11 章 材料力学中的能量方法 11－1 图示简支梁中点只承受集中力F 时，最大转角为θ ，应变能为V( F ) ；中点只承 max 受集中力偶 M 时，最大挠度为w ，梁的应变能为V (M ) 。当同时在中点施加F 和 M 时， max ε 梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。 （A ）V( F ) +V ( M ) ； ε （B ）V (F ) +V (M ) +Mθ ； ε ε max （C ）V (F ) +V (M ) +Fw ； ε ε max 1 （D ）V (F ) +V (M ) + (Mθ +Fw ) 。 ε ε max 2 习题 11－1 图 解：因为对于线性弹性结构，先加F 时梁内的应变能为： 1 V F Fw ε ( ) F 2 再加 M 时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍为wF ，这时先加的力F 不做功，所以梁 内应变能将增加： 1 Mθ V (M ) M ε 2 同时施加F 和 M 时的应变能，等于先加F、再加 M 时的应变能，即 V (F ,M ) V (F ) +V (M ) ε ε ε 所以，正确答案是 A 。 11－2 同一平面刚架两种受力情形分别如图 a、b 所 示。若集中力 F 和集中力偶 M 数值相等，试判断下列 等式（数值相等）中哪一个是正确的。 （A ）Δ (M ) Δ (F ) ； yC yC （B ）θ (M ) θ (F ) ； B B （C ）θ (M ) Δ (F ) ； B yC （D ）θ (F ) Δ (M ) 。 B yC 解：根据功互等定理，有 Mθ (F ) FΔy (M ) B C 而 M = F ， 则 θ Δy (M ) B C 所以，正确答案是 D 。 习题 11－2 图 11－3 图示圆柱体承受轴向拉伸，已知F 、l、d 以及 材料弹性常数 E 、ν 。试用功的互等定理，求圆柱体的体积改变量。 1 解：将外加载荷（一对 F 力）作为第 1 力系。为应用功的互等定理，建立辅助力系－ 静水压力 q 作为第 2 力系，如图所示。 在第 2 力系作用下，圆柱体上的任意点都处于三向等压应力状态σ σ σ −q 。因 1