[2018年最新整理]2015-2016数学分析2复习.doc

练习题一 第一大题 判断题（说明理由） 1、若收敛，则收敛。 2、在内可积。 3、级数是收敛的。 4、函数项级数在实数集上一致收敛。 第二大题 计算题 1、求。 2、求极限。 3、求。 4、计算曲线， 的弧长。 第三大题 判敛题 1、判断级数绝对收敛、条件收敛还是发散。 2、判断无穷积分的敛散性。 第四大题 求幂级数的收敛域及和函数。 第五大题 计算题 1、把展开成的幂级数。 2、把在展开成傅里叶级数。 第六大题 证明：，其中为正整数。 第七大题 设函数，求。 练习题二 第一大题 判断题（说明理由） 1、由于，所以。 2、若，则一定收敛。 3、若正项级数收敛，则一定收敛。 4、级数是绝对收敛的。 第二大题 计算题 1、求。 2、求极限。 3、求。 4、求由曲线与直线所围图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。 5、设，求。 第三大题 判敛题 1、判别级数的敛散性。 2、判断无穷积分的敛散性。 第四大题 求幂级数的收敛域及和函数。 第五大题 计算题 1、把展开成的幂级数。 2、把在展开成傅里叶级数。 第六大题 证明： （为正整数）。 第七大题 设函数，求。 练习题一答案 第一大题 判断题 解：1.错误。收敛，但发散。 2.错误。将用任意分法分为个小闭区间，（其中），则在每一个小闭区间（）上，，，。，所以在上不可积。 3.正确。，原级数收敛。 4.正确。，而收敛，所以由M判别法可知 在实数集上一致收敛。 第二大题 计算题 解：1. 2. 3. = = 4. 第三大题 判敛题 1. ，而， 可由比值法的极限形式证明收敛， 于是收敛，即绝对收敛。 2. 设，。在单调，且， ， 由狄里克雷判别法知收敛。 第四大题 计算题 解：，所以收敛半径。 当时，级数为，发散； 当时，级数为，发散； 于是幂级数的收敛域为。 在内设幂级数的和函数为， ( 两边从0到积分，得, 两边对求导，得 ． 第五大题 计算题 解：1. ，于是 。 2.在为奇函数，所以 ， ， ， 所以， 当时，傅里叶级数收敛于。 第六大题 证明题 证明： 由积分中值定理，存在，使 。 第七大题 计算题 ，，收敛，由M判别法知在一致收敛。 且函数在连续， 。 练习题二答案 第一大题 判断题 解：1.错误。因为，为瑕点，不能用求定积分的牛顿-莱布尼茨公式来计算。正确做法：， 而，于是发散。 2. 错误。反例： ，，但是发散。 3.正确。，正项级数收敛，由比较法极限形式知收敛。 4. 正确。，而，可由比值法的极限形式证明收敛，于是收敛，即绝对收敛。 是绝对收敛的。 第二大题 计算题 解：1. 设， 2. 3. 4. 5. . 第三大题 判敛题 1.设，。 单调递减，且，即有界； 由莱布尼茨判别法知收敛， 所以由阿贝尔判别法知级数收敛。 2. ，由收敛知收敛。 第四大题 计算题 解：，所以收敛半径。 当时，级数为，发散； 当时，级数为，由莱布尼茨定理知其收敛； 于是幂级数的收敛域为。 在内设幂级数的和函数为， ( 于是 ． 两边从0到积分，得 ， 注意到，于是． 因为级数和函数处有定义且连续， 所以在内 ． 第五大题 计算题 解：1. 又， ， 所以， 2.在为奇函数，所以 。 所以， 当时，傅里叶级数收敛于 当时，傅里叶级数收敛于 第六大题 证明：对，设，，；。 （定积分和积分变量无关） 第七大题 解：，，收敛，由M判别法知在一致收敛。且函数在连续，于是 。