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简述求极限的若干方法 摘要：微积分中的重要概念，如连续、导数、定积分、级数等都是用不同类型的极限来定义的，由此可见极限的重要性。既要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，又要准确地求出各种极。求极限的方法很多，综合起来主要有： 1. 利用极限的四则运算与幂指数运算法则； 2. 利用函数的连续性； 3. 利用洛必达法则； 4. 分别求左、右极限； 5. 利用变量替换与两个重要极限； 6. 数列极限转化为函数极限； 7. 利用夹逼定理； 8. 利用导数的定义求极限； 9. 利用泰勒公式。 关键字：夹逼准则 单调有界 无穷小量的性质 洛必达法则 求函数极限的方法很多，但是每一种都有局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求函数极限的过程中必然以相关的概念定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文主要归纳了集中常见的求函数极限的方法。 首先，我们先来回顾一下极限的定义及其基本性质： 极限的概念与性质 ㈠极限的定义 定义1.1 对于任给的常数，存在正整数，使得时，就有. 若数列存在极限（有限数），又称数列收敛，否则称数列发散。 定义1.2 对于任给的常数，存在正数，使得当时就有. 类似可定义单侧极限与 定义1.3 对于任给的常数，存在正数，使得当时就有. 类似可定义当时的右极限与左极限： ㈡极限的基本性质 数列极限基本性质 定理1.1（极限的不等式性质）设，，若，则，当时，；若时，，则. 定理1.2（收敛数列的有界性）设收敛，则有界（即常数，，）. 函数极限基本性质 定理1.3（极限的不等式性质）设，. 若,则存在，当时有. 若存在，使得当时有，则. 推论（极限的保号性）. 若,则存在，当时有. 若存在，使得当时有，则. 定理1.4（存在极限的函数局部有界性）设存在极限，则在的空心邻域内有界，即存在与，使得当时，有. 二．极限存在性判别 ㈠夹逼定理 定理2.1（数列情形）若，当时，，且有则. 定理2.2（函数情形）若存在，使得当时有，又，则. ㈡单调有界数列必收敛定理 定理2.3 若数列单调上升有界，即，并存在一个数，使得对一切的有，则收敛。即存在一个数，使得，且有. 若数列单调下降有下界，即，并存在一个数，使得对一切的有，则收敛。即存在一个数，使得，且有. ㈢极限存在充要条件 定理2.4（函数极限存在的充要条件）. 对于分段函数，考察是否存在就需要分别求与，并确定二者是否相等。 定理2.5（数列极限存在的充要条件）. 例2.1 证明 不存在。 证明： 取，则均有，但，因此不存在。 求极限的方法 ㈠利用极限的四则运算法则与幂指数运算法则求极限 定理3.1（四则运算法则）若 ，，则 (1) (2) (3)若 B≠0 则： （4） （c为常数） 定理3.2（幂指数运算法则）设，，则 上述性质对于。 例3.1求下列极限： ⑴ ⑵ 解：⑴ ⑵ ㈡利用洛必达法则求未定式的极限 定理3.3设i）（或）；ii）在的空心邻域中可导，；iii），则,其中A可以是有限数也可以是或. 求型或型极限方法有： 通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或的因子，然后用极限四则运算法则； 洛必达法则； 泰勒公式； 变量替换与重要极限公式； 等价无穷小因子替换。 例3.2 ⑴ ⑵ 解：⑴恒等变形：分子分母同乘，得 ⑵恒等变形：分子分母同除以，得 例3.3 求极限。 解：属型。根据其特点可先作恒等变形与变量替换后在用洛必达法则求极限。 ，其中. 求型未定式的极限的方法与求型和型未定式的极限基本相同。必须注意的是为使用洛必达法则需根据函数的特点先将型未定式化为型或型。 求型未定式的极限一般需用适当方法将其化为型或型未定式。若是两个分式函数之差的型未定式，则用通分将其化为型或型未定式；若是与根式函数之和、差有关的型未定式，则需用有理化等方法将其化为型或型未定式。 例3.4 ⑴ ⑵ 解：⑴属，可化为型。 ⑵属型。先化成型。即，作等价无穷小因子