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12.6 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于(　　) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析 由分布列的性质可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝.∴E(X)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝. 答案 C 2．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于(　　) A. B. C．3 D. 解析 因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝. 答案 D 3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)． A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 解析　若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2， D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案　B 4．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 则在下列式子中：①E(X)＝－；②D(X)＝； ③P(X＝0)＝. 正确的个数是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　E(X)＝(－1)×＋1×＝－，故①正确． D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确． 由分布列知③正确． 答案　C 5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析 依题意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a＞0，b＞0，∴3a＋2b≥2， 即2≤1，∴ab≤.当且仅当3a＝2b即a＝，b＝时等式成立． 答案 B 6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)． A．100 B．200 C．300 D．400 解析　种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100， 故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200. 答案　B 7．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)． A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25. 答案　B 二、填空题 8. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望 答案 9．已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________. 解析　由题意知解得 答案　　 10．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表： ξ 1 2 3 P ？ ！ ？ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________. 解析　令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)