[翟小军平面几何.doc

平面几何专题1 东海高中　翟小军 一、度量关系的证明 例1　在△ABC中，CA＝CB，D、E分别在CA、CB上，且CE＝CD.过C、D作AE的垂线分别交AB于G、H，如果∠ACB＝90°.求证：BG＝GH. 例2 在四边形ABCD中,△ABD、△BCD、△ABC的面积比是3:4:1,点M、N分别在AC、CD上，满足AM：AC＝CN：CD，并且B、M、N三点共线。求证：M、N分别是AC与CD的中点。 例3　在△ABC的边BC、CA、AB上分别取点A1、B1、C1，使得△A1B1C1的中线A1A2、 B1B2 、C1C2分别平行于直线AB、BC、CA。试确定A1、B1、C1分△ABC的边为怎样的关系？ 练习1　设I是△ABC的∠BAC平分线上的一点，M、N分别是边AB、AC上的点，且使得∠ABI＝∠NIC，∠ACI＝∠MIB。求证：当且仅当点M、N、I共线时，I是△ABC的内心。 练习2　在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，点D和E为边BC上的点，且∠DAE＝45°。△ADE的外接圆分别交边AB和AC于点P和Q。求证：BP＋CQ＝PQ。 二、位置关系的证明 例1　如图所示，B在AC上，Q在PR上，PB∥QC，AQ∥BR，求证：AP∥CR。 例2　△ABC的外接圆为⊙O，∠C＝60°，N是的中点，H是垂心。求证：CN⊥OH。 练习1　设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、E分别是△APB及△APC的内心。求证：AP、BD、CE交于一点。 练习2　如图所示，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。 三、面积关系解题 例1　在中，M、N分别在AB、BC上，且M、N不与端点重合，AM＝NC。设AN与CM交于Q点，求证：DQ平分∠ADC。 例2　设凸四边形ABCD的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在边AB上，且与四边形的其余的三条边相切。 求证：AD＋BC＝AB。 练习1　设ABCD是面积为2的长方形，P为CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点，PA·PB的值随长方形ABCD及点P的变化而变化，当PA·PB取值最小时， 求证：AB≥2BC； 求AQ·BQ的值。 练习2　已知D是△ABC的边AB上的任意一点，E是边AC上的任意一点，连接DE，F是线段DE上的任意一点，设，，求证： （1）S△BDF＝（1－x）yzS△ABC，S△CEF＝x（1－y）（1－z）S△ABC；（2）≤。 四、轨迹问题 例1　在平面上给定圆，位于圆内的点A，以及点B（B≠A）。考察所有可能的△BXY，其中X，Y在上，而弦XY过A点。求证：△BXY的外心在一条直线上。 例2　如图所示，已知圆S1与圆S2交于P、Q两点，A1、B1为圆S1上不同于P、Q的两个点，直线　A1P、B1P分别交圆S2于A2、B2，直线A1B1和A2B2交于点C。求证：当点A1和点B1变化时，△A1A2C的外心总在一个定圆周上。 练习1　如图所示，设△ABC内存在一点F，使得∠AFB＝∠BFC＝∠CFA，直线BF、CF分别交AC、AB于D、E。求证：AB＋AC≥4DE。 练习2　已知△ABC的∠C内的旁切圆与边AB切于点C’，设Z点为由C引出的△ABC的高的中点。求证：△ABC的内心在直线C’Z上。 五、几何证明的方法与技巧 例1　设A、B、C、D是同一圆上顺次四点，L、M、N分别是、和的中点，弦AM与CL相交于点P，弦BN与DM相交于点Q。求证：PQ∥LN。 例2　设l是经过△ABC的顶点C且与AB平行的一条直线，∠A的平分线与BC边交于D，与l交于E，∠B的平分线与AC边交于F，与l交于G，若FG＝DE，求证：BC＝AC。 练习1　已知四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°，求证：△ABC是正三角形。 练习2　如图，⊙O是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是⊙O与直线BC、CA、AB相切的切点，OD和EF相交于K，求证：AK平分BC。 平面几何专题2 东海高中　翟小军 一、梅内劳斯定理 一直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D，E，F，则。 逆定理：在△ABC中，若，则D、E、F三点共线。 例1　如图所示，过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB的延长线交于P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线。 例2　设四边形ABCD外切于一圆，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的切点，若直线HE与GF相交于