高等数学8-2偏导数.ppt

函数与极限 例7. 求函数 例如, 定理. 例8. 证明函数 练习题 作业 内容小结 思考与练习 P73 题6 解答提示: P73 题 5 P73 题 5 , 6 即 x＝y＝0 时, * 第二节 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏 导 数 一、 偏导数定义及其计算法 回顾： 导数的定义 注意: 同样可定义对 y 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 例1 . 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 例2. 设 证: 求证 解 不存在． 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 ３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 显然 因为, 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 思考: 不能. 例如, 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 4、偏导数的几何意义 x z y 0 ? 由一元函数导数 的几何意义： z= f (x,y) L： L = tan? 偏导数的几何意义 . y =y0 同理， . Tx 固定y =y0 M ? z= f (x,y) L x =x0 固定 x =x0 Tx . x z y 0 偏导数的几何意义 M ? 由一元函数导 数的几何意义： z= f (x,y) L = tan? . x =x0 Tx ? Ty . x z y 0 固定 x =x0 偏导数的几何意义 几何意义: 定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数: 混合偏导 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 二者不等 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 则 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 初等函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函 数的高阶导数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 设 方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 求 解: P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2） 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) * *