《高等数学》导数的概念.doc

PAGE 76 PAGE 75 导数的概念 一、基本内容 1. 导数的定义： （1）函数在点处的导数： 左导数： 右导数： 也可记为，或。 （2）函数的导函数： 导函数也可记为，或。 2．基本初等函数的导数公式（Ⅰ）： ， ， ， 3．函数的可导性与连续性的关系：连续不一定可导，但可导一定连续。 4．导数的几何意义：为曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的倾斜角。 *5. 导数的物理意义：针对不同的物理量，导数有不同的物理意义 二、学习要求 1. 理解导数的概念及几何意义 ； 2. 了解可导性与连续性的关系； 3. 掌握用定义求函数某一点处的导数的方法； 4. 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 三、基本题型及解题方法 题型1 根据导数的定义求函数的导数 解题方法：从导数的定义出发，通过求极限来判断导数的存在与否，及具体的导数值。虽然此种方法求导比较麻烦，但这种方法是最基本的求导方法，同时适用于一切问题。 【例1】 试用导数定义求的导数。 解： 【例2】设为偶函数，且存在，证明。 证： 令 ，则 因此 题型2 判断分段函数在分段点处的可导性 解题方法：当分段函数分段点两侧的对应关系不同时，要判断函数在分段点处的可导性，往往需要判断左右导数是否存在且相等，若其中一个不存在或两者存在而不相等，则在点不可导。 【例3】求函数 在处的导数。 解：由， 得 。 题型3 根据导数定义求极限 解题方法：作为基础，将所要求的极限与其比较。 【例4】试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在) （1） ； （2） 其中。 解：（1） （2） 题型4 根据导数定义及可导与连续的关系求相关待定常数 解题方法：先由可导的充要条件：及连续的充要条件： 构造含有待定常数的等式，然后由等式解出常数。 【例5】设函数， （1） 欲使在处连续, 为何值； （2） 欲使在处可导, 为何值。 解：（1）因要在处连续, 则有 成立，即 亦即 故,可以任意。 （2）因要在处可导，由可导与连续的关系，在处亦连续，故由（1）有,可以任意 且 成立，而 所以 题型5 导数几何意义的应用 解题方法： 由导数的几何意义，其中是切线的倾斜角，可得曲线在给定点处的切线方程为 法线方程为 。 【例6】求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解：根据导数的几何意义，在点处的切线的斜率为 ， 所以，切线方程为 ， 即 法线方程为 即 。 四、同步练习 （一）填空题： 1．设存在，则 。 2．设在点处可导，且，则 。 3．若处处有导数，则= ，= 。 4．设，其中在处连续，但不可导，则在处的导数 。 5．曲线上的切线斜率等于的点是 。 6．曲线在点（0，2）处的切线方程为 ，法线方程 。 7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则该曲线在点处的切线方程是 。 8．曲线上点（0，1）处的切线方程为 。 9．设在点处可导，且，则 。 （二）选择题： 1．在点处（ ） A．极限不存在； B．极限存在但不连续； C．连续但不可导； D．可导 2．设函数可导，则 （ ） A．； B．； C．； D． 3．设存在，且，则（ ） A．2； B．1； C．0； D． 4．已知函数在点可导，且，则（ ） A．-4； B．4； C．-2； D．2 5．若为奇函数，且存在，则是函数的（ ） A．可去间断点； B．跳跃间断点； C．第二类间断点； D．连续点 6．设，则是（ ） A．1； B．0； C．-1； D．不存在 7．若函数，则（