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圆锥曲线例题2 例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当为长轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； （2）当为短轴端点时，，， 椭圆的标准方程为：； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： ∴， ∴． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可． 例3 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为， 由，得， ∴，， ，∴， ∴为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列． （1）求证； （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率． 证明：（1）由椭圆方程知，，． 由圆锥曲线的统一定义知：， ∴ ． 同理 ． ∵ ，且， ∴ ， 即 ． （2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为 ． 又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得 又∵点，都在椭圆上， ∴ ∴ ． 将此式代入①，并利用的结论得 ∴ ． 例5 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是 与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设存在，设，由已知条件得 ，，∴，． ∵左准线的方程是， ∴． 又由焦半径公式知： ， ． ∵， ∴． 整理得． 解之得或． ① 另一方面． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在． 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 例6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求． 解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程， 并整理得． 由韦达定理得． ∵是弦中点，∴．故得． 所以所求直线方程为． 分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：． 解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 ①－②得． ⑤ 将③、④代入⑤得，即直线的斜率为． 所求直线方程为． 说明： 有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹； 过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用． 例7 求适合条件的椭圆的标准方程． （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点； （2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由求出，， 在得方程后，不能依此写出另一方程． 解：（1）设椭圆的标准方程为或． 由已知． ① 又过点，因此有 或． ② 由①、②，得，或，．故所求的方程为 或． （2）设方程为．由已知，，，所以．故所求方程为． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的