圆锥曲线综合经典例题(有答案).doc

经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程　　1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程. 　　思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.　　解析：　　方法一：因为有焦点为，　　　　　　所以设椭圆方程为，,　　　　　　由，消去得，　　　　　　所以 　　　　　　解得　　　　　　故椭圆标准方程为　　方法二：设椭圆方程 ,,,　　　　　　因为弦AB中点,所以，　　　　　　由得,（点差法）　　　　　　所以 　　　　　　 又 　　　　　　故椭圆标准方程为.　　举一反三：　　【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.　　【答案】依题意设椭圆标准方程为()，　　　　　 　并有，解之得，, 　　　　　 　∴椭圆标准方程为　　2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. 　　（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；　　（2）与双曲线有公共焦点，且过点　　解析：　　（1）解法一：设双曲线的方程为　　　　　　　　 由题意，得，解得，　　　　　　　　 所以双曲线的方程为　　　　　　　　 解法二：设所求双曲线方程为（），　　　　　　　　 将点代入得，　　　　　　　　 所以双曲线方程为即　　（2）解法一：设双曲线方程为－=1　　　　　　　　 由题意易求　　　　　　　　 又双曲线过点，∴　　　　　　　　 又∵，∴，　　　　　　　　 故所求双曲线的方程为.　　　　 解法二：设双曲线方程为，　　　　　　　　 将点代入得，　　　　　　　　 所以双曲线方程为.　　总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.　　(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的　 　　关系，并注意方程思想的应用.　　(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.　　举一反三：　　【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.　　（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.　　（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.　　【答案】　　（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，　　　　 ∵点在双曲线上，　　　　 ∴，解得，　　　　 ∴所求双曲线方程为.　　（2）由已知设, ,则()　　　　 依题意，解得.　　　　 ∴双曲线方程为或.　　3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 　　（1）过点； 　　（2）焦点在直线：上　　思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论　　解析：　　（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左　　　　 当抛物线开口方向左时，　　　　 设所求的抛物线方程为（），　　　　 ∵过点，∴，　　　　 ∴，∴，　　　　 当抛物线开口方向上时，　　　　 设所求的抛物线方程为（），　　　　 ∵过点，∴，　　　　 ∴，∴，　　　　 ∴所求的抛物线的方程为或，　　　　 对应的准线方程分别是，.　　（2）令得，令得，　　　　 ∴抛物线的焦点为或　　　　 当焦点为时，，∴，　　　　 此时抛物线方程；　　　　 焦点为时，，∴，　　　　 此时抛物线方程为　　　　 ∴所求的抛物线的方程为或，　　　　 对应的准线方程分别是，.　　总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.　　举一反三：　　【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.　　（1）焦点为F(4,0)；　　（2）准线为 ；　　（3）焦点到原点的距离为1；　　（4）过点（1，－2）；　　（5）焦点在直线x-3y+6=0上.　　【答案】　　（1）所求抛物线的方程为y2=16x；　　（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；　　（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；　　（4）所求抛物线的方程为或；　　（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.　　【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，