全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解.doc

2014年福建省高中数学竞赛 暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷 （考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线：，：，若，则 。 2．函数（）的值域为 。 3．在三棱锥中，，，，，。则三棱锥的体积为 。 4．已知、为双曲线：的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限。若，则内切圆半径为 。 5．已知集合，。若，且中恰有1个整数，则的取值范围为 。 6．若分数（，为正整数）化成小数为，则当取最小值时， 。 7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。 8．已知点，，。平面区域由所有满足（，）的点组成的区域。若区域的面积为8，则的最小值为 。 9． 被63除的余数为 。（符号表示不超过的最大整数。） 10．若，，为关于的方程的三个实根，则的最小值为 。 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．已知为递增的等比数列，且，。，数列的前项和为，求证：对一切正整数均有，。 12．已知为椭圆：的右焦点，椭圆上任意一点到点的距离与点到直线：的距离之比为。 （1）求直线方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，直线、与直线分别相交于、两点。以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。 13．如图，在五边形中，，，，为中点，为的外心，且。延长至点，使得。 （1）求证：； （2）求证：。 14．已知。 （1）若时，恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：对一切正整数均成立。 15．给定2014个和为1的非负实数，，，…，。 证明：存在，，，…，的一个排列，，，…，，满足。 2014年福建省高中数学竞赛 暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知直线：，：，若，则 。 【答案】 【解答】。 2．函数（）的值域为 。 【答案】 【解答】。 由知，，。 3．在三棱锥中，，，，，。则三棱锥的体积为 。 【答案】 【解答】如图，作于，连、、。 ∵ ，， ∴ ，，四边形为矩形。 由知，四边形为正方形，且。 又，因此，为正三角形，。 ∴ 。于是，。 ∴ 三棱锥的体积为。 4．已知、为双曲线：的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限。若，则内切圆半径为 。 【答案】 2 【解答】设，则，。 于是，，，，结合知，为直角三角形，。 ∴ 内切圆半径。 5．已知集合，。若，且中恰有1个整数，则的取值范围为 。 【答案】 【解答】。 设，则的轴对称。 由，知。 因此，中恰有的一个整数为3。 ∴ ，解得。故，的取值范围为。 6．若分数（，为正整数）化成小数为，则当取最小值时， 。 【答案】 121 【解答】由，知，，记（为正整数）。 于是，，。 ∴ 。 当时，，取，时，最小为101。 又符合要求。故，当最小时，。 7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。 【答案】 【解答】投掷3粒骰子共有种可能。考虑。 投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有（种）。 （分为，，，，，这6种可能，每类有6种情况。其中，，，，，，重复出现） 同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。 ∴ 投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有种可能。 ∴ 所求概率为。 8．已知点，，。平面区域由所有满足（，）的点组成的区域。若区域的面积为8，则的最小值为 。 【答案】 4 【解答】如图，延长至点，延长至点，使得，。 四边形、、均为平行四边形。 由条件知，点组成的区域为图中的阴影部分，即四边形（不含边界、）。 ∵ ，，。 ∴ ，，，，。 ∴ 四边形的面积为。 ∴ ，。 由，知，当且仅当，即时，取最小值4。 9． 被63除的余数为 。（符号表示不超过的最大整数。） 【答案】 56 【解答】∵ 对任意正整数，与均不是整