2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及详解.doc

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及详解 年月日上午 一、填空题（每小题分，共分） 、若的值域为，那么的取值范围是 ． 、四面体中，是一个正三角形， ，， ，则到面的距离为 ． 、若对于所有的正数，均有，则实数的最小值是 ． 、已知是正方形内切圆上的一点，记，则 ． 、等差数列与的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ． 、设为锐角，则函数的最大值是 ． 、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是 、把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数的最小值是 ． 二、解答题（共分） 、（分）如图，是椭圆的一条直径， 过椭圆长轴的左顶点作的平行线，交椭圆于 另一点，交椭圆短轴所在直线于， 证明：． 、（分）如图，是的旁心，点关于直线的对称点为．证明： 、三点共线； 、四点共圆． 、（分）设为正数，满足：，证明： 、（分）设集合，对于的任一个元子集，若存在，满足，则称为“好集”，求最大的正整数， 2016年全国高中数学联赛江西省预赛详解 一、填空题（每小题分，共分） 、若的值域为，那么的取值范围是 ．答案：． 解：由值域，， ，. 、四面体中，是一个正三角形，，， ，则到面的距离为 ．答案：． 解：如图，据题意得，， 于是，， 因，得，从而以 为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积，而， 若设到面的距离为，则，由， 得到． 、若对于所有的正数，均有，则实数的最小值是 ．答案：． 解：由，得， 当时取等号． 、已知是正方形内切圆上的一点，记，则 ．答案：． 解：如图建立直角坐标系，设圆方程为， 则正方形顶点坐标为， 若点的坐标为，于是直线 的斜率分别为 ，， 所以， ， 由此立得． 解2：取特例，在坐标轴上，则， 这时，， 、等差数列与的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．答案：． 解：将两个数列中的各项都加，则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数；前者是中的全体能被整除的数，后者是中的全体能被整除的数，故公共项是中的全体能被整除的数，这种数有个． 、设为锐角，则函数的最大值是 ．答案：． 解：由， 得 ， 所以．当时取得等号． 、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是 解答：（答案有多种） 、把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数的最小值是 ．答案：． 例如，排出的一个数列为 ． 解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这个连续正整数的集合为，由于， 则中必有，而，所以，当时，从到这个数可以搭配成满足条件的三个数段： ，但它们不能连接成一个项的数列，故应增加后续的数，增加可使得第一段扩充成，增加可使得第二段扩充成，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即，而之前的数若与邻接，只有，这三段扩充为 ，，，仍旧不能连接，应当借助新的平方数，从到这个数能搭配成和为的最小数是，则，而当时，可排出上面的情形： ． 二、解答题（共分） 、（分）如图，是椭圆的一条直径， 过椭圆长轴的左顶点作的平行线，交椭圆于 另一点，交椭圆短轴所在直线于， 证明：． 证1：椭圆方程为， 点的坐标为，则直线方程为， …… 代入椭圆方程得到， ，，…… 因此，…… 又据∥，则点坐标为：，，…… 因为在椭圆上，则，而，， 因此．…… 证2： 易知的斜率存在，不妨令，与椭圆方程联系， 解得 …… , …… 方程为： . 将方程与椭圆方程联立，得 …… …… ， … 、（分）如图，是的旁心，点关于直线的对称点为．证明： 、三点共线；、四点共圆． 证：1、延长到，延长到,连，为旁心， 平分，…… 又关于对称， 平分, ,、、三点共线。…… 2、过作交于，则 …… 为内心。连,则平分,…… ,、、、四点共圆，…… , 、、、四点共圆。…… 、（分）设为正数，满足：，证明： 证：据条件，即要证 ① 也即 ② …… 将此式各项齐次化，因为 …… 代入②， 只要证 即…… 也即。 此为显然，故命题得证．… 证2：由题设得： ， 三式相乘，故原不等式等价于证明： …… 上式两边展开并化简得： …… 配方得： …… 即…… 显然成立.