全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题.doc

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第一试 选择题（每小题5分，共50分） 1、a,b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2、若函数满足，则的解析式是（ ） A. B. C. D 3、若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4、已知数列的前n项和分别为，记 则数列{}的前10项和为( ) A . B. C. D. 5、如图1，设P为△ABC内一点，且， 则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 ( ) A. B. C. D. 6、若 则角的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、袋中装有m个红球和n个白球，mn≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组(m,n)的个数为 ( ) A .3 B. 4 C .5 D.6 8 、已知实系数一元二次方程的两个实根为且则的取值范围是 ( ) A . B C D 9、如图2，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为 ( ) A. 1 B .2 C. 3 D .4 10、如图3，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T．延长FT交双曲线右支于P点若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.不确定 二、填空题(每十题6分，共30分) 11、已知为锐角，且，则 12、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为，能包容此框架的最小球的半径为，则等于 13、设是以2为周期的奇函数，且，若则的值 14、若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 15、设则S的最大值为 第二试 一、(20分)设是函数的反函数图象上三个不同点，且满足的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围. 二、(20分)已知x、y、z均为正数 (1)求证： (2)若,求的最小值 三、(20分)已知,设,记 (1)求 的表达式; (2)定义正数数列。试求数列的通项公式。 四、（30分）如图4，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线 五、(30分)如图5，已知抛物线C：，F为C的焦点，l为准线，且l交x轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。 （1）若，求证：； （2）设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到x轴的距离和点M到准线l的距离均为非零整数，求证：点M到坐标原点O的距离不可能是整数。