前n个自然数平方和及证明.doc

帕斯卡与前n个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n＋1）3＝n3＋3n2＋3n＋1， 移项可得 （n＋1）3 －n3＝3n2＋3n＋1， 此式对于任何自然数n都成立。 依次把n＝1,2，3，…，n－1，n代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n3－（n－1）3＝3（n－1）2＋3（n－1）＋1， （n＋1）3 －n3＝3n2＋3n＋1， 把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n＋1）3 －1；而n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到 （n＋1）3 －1＝3Sn＋＋n， 现在这里Sn＝12＋22＋…＋n2。 对这个结果进行恒等变形可得 n3＋3n2＋3n＝3Sn＋＋n， 2n3＋6n2＋6n＝6Sn＋3n2＋3n＋2n 移项、合并同类项可得 6Sn＝2n3＋3n2＋n＝n（n＋1）（2n＋1）， ∴Sn＝n（n＋1）（2n＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）。 这个方法把所要计算的前n个自然数的平方和与已知的前n个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。 前n个连续自然数的平方和公式的最新证明方法 袁志红 关于前n个连续自然数的平方和：的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算： =1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表①： 1 2 2 ① 3 3 3 把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表②： 3 3 2 ② 3 2 1 再把数表②顺时针旋转120度得到数表③： 3 2 3 ③ 1 2 3 观察①、②、③三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？ 不难发现： 最顶层的三个数字是：1、3、3； 第二行左侧三个数字是：2、3、2； 第二行右侧三个数字是：2、2、3； 第三行最左侧三个数字是：3、3、1； 第三行中间三个数字是：3、2、2； 第三行最右侧三个数字是：3、1、3. 通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是7. 每个数表都是6个位置，所以三个数表数字之和：共6个7，而这三个数表的数字都是一样的（因为都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变），所以每个数表数字之和为：6×7÷3. 而数表中数字的个数可以这样计算：第一行排1个数，第二行排2个数；第三行排3个数，所以共排了：1+2+3=6个数字。 所以=（1+2×3）×3×（3+1）÷6； 同理也可以采用上面的方法推导出来： 1 2 2 3 3 3 … … … … ④ n n n n…………n n n n n n 顺时针旋转120度，得到： n n n-1 n n-1 n-2 n n-1 n-2 n-3 ⑤ …… …… …… n n-1 n-2 n-3 …… …… …… 4 3 2 1 把数表⑤再顺时针旋转120度，得到： n n-1