欧拉四平方和恒等式.doc

欧拉四平方和恒等式[ \o 编辑首段 编辑] 欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个 \o 平方数 平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为： \o 欧拉 欧拉在1748年5月4日寄给 \o 哥德巴赫 哥德巴赫的一封信中提到了这个恒等式。 [1] [2]它可以用基本的代数来证明，在任何 \o 交换环 交换环中都成立。如果as和bs是 \o 实数 实数，有一个更加简洁的证明：这个等式表达了两个 \o 四元数 四元数的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实，就像 \o 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式与 \o 复数 复数的关系一样。 \o 拉格朗日 拉格朗日用这个恒等式来证明 \o 四平方和定理 四平方和定理。 婆罗摩笈多－斐波那契恒等式[ \o 编辑首段 编辑] 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式： 这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如， (1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的b换成?b来得出。 这个等式在 \o 整数 整数环和 \o 有理数 有理数环中都成立。更一般地，在任何的 \o 交换环 交换环中都成立。 它在 \o 数论 数论中有很多应用，例如 \o 费马平方和定理 费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和，则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。 证明[ \o 编辑小节：证明 编辑] 而若将与互换位置，即可得 相关等式[ \o 编辑小节：相关等式 编辑] \o 四平方和恒等式 四平方和恒等式是一个类似的等式，含有四个平方和，与 \o 四元数 四元数有关。还有一个 八平方和恒等式。 与复数的关系[ \o 编辑小节：与复数的关系 编辑] 如果a、b、c和d是 \o 实数 实数，那么这个等式与 \o 复数 (数学) 复数的绝对值的乘法性质是等价的，也就是说： 由于 两边平方，得 根据绝对值的定义， 用范数来解释[ \o 编辑小节：用范数来解释 编辑] 在a、b、c和d是 \o 有理数 有理数的情况中，这个等式可以解释为 \o 域 (数学) 域Q(i)的 \o 范数 (域论) 范数是积性的。也就是说： 且 而且 所以，这个等式就是说 李善兰恒等式[ \o 编辑首段 编辑] 李善兰恒等式为 \o 组合数学 组合数学中的一个 \o 恒等式 恒等式，由 \o 中国 中国 \o 清代 清代 \o 数学家 数学家 \o 李善兰 李善兰于1859年在《 \o 垛积比类（页面不存在） 垛积比类》一书中首次提出，因此得名。 有幂级数 [1]和概率 [2]两种证明方法。 表达式[ \o 编辑小节：表达式 编辑] 其中