第十二章随机过程及其统计描述概率论和数理统计.ppt

在实际中, 常遇到一种特殊的二阶矩过程-正态过程. 随机过程{X(t), t?T}称为正态过程, 如果它的每一个有限维分布都是正态分布, 亦即对任意整数n?1及任意t1,t2,...,tn?T, (X(t1), X(t2),..., X(tn))服从n维正态分布. 由第四章的结论知, 正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数(或自相关函数)所确定. 例1 设随机变量A~N(0,1), B~U(0,2), A,B相互独立, 求随机过程X(t)=At+B, t?T=(-?,?)的均值函数mX(t)和自相关函数RX(t1,t2).解 由题意E(A)=0, E(A2)=1, E(B)=1, E(B2)=4/3, mX(t)=E[X(t)]=E[At+B]=tE[A]+E[B]=1, RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(At1+B)(At2+B)] =t1t2E[A2]+(t1+t2)E[AB]+E[B2] =t1t2+4/3, t1,t2?T. 例2 求随机相位正弦波(§1例2)的均值函数, 方差函数和自相关函数.解 由假设Q的概率密度为 于是, 由定义 而自相关函数 式中t=t2-t1. 特别, 令t1=t2=t, 即得方差函数为 例3 设X(t)=Acoswt+Bsinwt, t?T=(-?, +?), 其中A,B是相互独立, 且都服从正态分布N(0,s2)的随机变量, w是实常数. 试证明X(t)是正态过程, 并求它的均值函数和自相关函数.解 由题设A,B是相互独立的正态变量, 所以(A,B)是二维正态变量, 对任意一组实数t1,t2,...,tn?T, X(ti)=Acoswti+Bsinwti, i=1,2,...,n都是A,B的线性组合, 而正态变量的任何线性组合仍然是正态变量, 因此X(t1),X(t2),...,X(tn)是n维正态变量, 因为n, ti是任意的, 因此X(t)是正态过程. 另因E(A)=E(B)=E(AB)=0, E(A2)=E(B2)=s2,由此可算得X(t)的均值函数和自协方差函数(自相关函数)分别为: mX(t)=E(Acoswt+Bsinwt)=0,CX(t1,t2)=RX(t1,t2) =E[(Acoswt1+Bsinwt1)(Acoswt2+Bsinwt2)] =s2(coswt1coswt2+sinwt1sinwt2) =s2cosw(t2-t1). (三)二维随机过程的分布函数和数字特征 实际问题中, 有时必须同时研究两个或以上随机过程及它们之间的统计联系. 例如, 某地在时段(0,t]内的最高温度X(t)和最低温度Y(t)都是随机过程, 需要研究它们的统计联系. 又如, 输入到一个系统的信号和噪声可以都是随机过程, 这时输出也是随机过程. 需要研究输出与输入之间的统计联系等. 对这类问题, 除了对各个随机过程的统计特性加以研究外, 还必须将几个随机过程作为整体研究其统计特性. 设X(t), Y(t)是依赖于同一参数t?T的随机过程, 对于不同的t?T, (X(t),Y(t))是不同的二维随机变量, 称{(X(t),Y(t)), t?T}为二维随机过程.给定二维随机过程{(X(t),Y(t)), t?T}, t1,t2,...,tn;t1,t2,...,tm是T中任意两组实数, 称n+m维随机变量(X(t1),X(t2),...,X(tn);Y(t1),Y(t2),...Y(tm))的分布函数F(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn:y1,y2,...,yn;t1,t2,...,tm), xi,yj?R, i=1,2,...,n, j=1,2,...,m为这个二维过程的n+m维分布函数或随机过程X(t)与Y(t)的n+m维联合分布函数. 如果对于任意的正整数n,m, 任意的数组t1,t2,...,tn?T,t1,t2,...,tm?T, n维随机变量(X(t1),X(t2),...,X(tn))与m维随机变量Y(t1),Y(t2),...Y(tm)相互独立, 称随机过程X(t)和Y(t)是相互独立的.关于数字特征, 除了X(t),Y(t)各别的均值和自相关函数外, 在应用课题中感兴趣的是X(t)和Y(t)的二阶混合原点矩, 记作 RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)], t1,t2?T, (2.9)并称它为随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数. 还有如下定义的X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=E{[X(t1)-mX(t1)][Y(t2)-mY(t2)]} =RXX(t1,t2)-mX(t1)mY(t2), t1,t2?T.