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一元函数求极限的若干方法.doc

发布:2019-05-12约5.74千字共13页下载文档
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专业资料 word完美格式 一元函数求极限的若干方法 (陕西师范大学 数学系,陕西 ) 摘 要:极限是数学分析中最基本的,也是最重要的概念之一,是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件,针对这种情况,本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词:极限;方法 大家知道,极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一,数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸,如:连续、导数、微积分等都是由极限定义的,而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值,因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限,而对极限的求法可谓是多种多样,针对这种情况,通过归纳和总结,罗列出一些常用的求法. 1 利用极限的定义求极限 极限是指无穷的趋于一个固定的数值,数学分析中的极限包括:数列极限和函数极限. 1.1 数列极限的定义 设是一个数列,是定数,如果对任意给定的,总存在正整数,使得当时有 , 我们就称定数是数列的极限.记为 或 . 例1 按定义证明,这里是常数. 证 由于 , 故对任给的,只要取,则当时,便有 即. 这就证明了 . 例2证明 分析 由于 (1) 因此,对任给的,只要,便有 (2) 即当时,(2)式成立.又由于(1)式是在的条件下成立的,故应取 (3) 证 任给,取据分析,当nN时有(2)式成立.于是本题得证. 注 本例在求N的过程中,(1)式中运用了适当放大的方法,这样求N就比较方便.但应注意这种放大必须“适当” ,以根据给定的能确定出N.又(3)式给出的N不一定是正整数.一般地,在定义1中N不一定限于正整数,而只要它是正数即可. 1.2 函数极限的定义 函数极限的定义包括两个,一个是趋于时函数的极限,另一个是趋于时函数的极限. 1.2.1 趋于时函数的极限 设为定义在上的函数,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有 , 则称函数当趋于时以为极限,记为 或 . 1.2.2 趋于时函数的极限 设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时有 , 则称函数当趋于时以为极限,记为 或 . 例3 证明 . 证 任给,取,则当时有 , 所以. 例4 设,证明. 证 由于当时, , 故对给定的,只要取,根据题意当时有.这就证明了. 注 用极限的定义时,只需证明存在 ,故求解的关键在于不等式的建立,在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧.但是不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大,而是直接应该对要证其极限的式子一步步放大,有时还需要加入一些限制条件.限制条件必须和所求的一致,最后结合在一起考虑. 2 利用极限的四则运算法则求极限 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单,但为了能够使用法则,往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简,那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定,常用的方法有:分式的约分或通分,分式的分解,分子或分母的有理化,三角函数的恒等变形,某些求和或求积公式的恰当变量替换等等. 2.1 直接运用函数极限的四则运算法则求极限 直接运用函数极限的四则运算法则求极限时,前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0. 定理 若极限都存在,则函数 例5 求极限:. 解 . 例6 (这种解法是错误的,因为不存在,因此不能写成.) 2.2 间接运用函数极限的四则运算法则求极限. 间接利用该法则求极限,即分母的极限等于零或分子、分母的极限为时则不能运用该法则.此时可采用下列方法求解. 2.2.1 消零因子法 对于有理分式可将分子、分母分解因式,消去公因式后再求解. 例7 求极限 . 解 . 2.2.2 无穷大分除法 当时,分子分母的极限为无穷大,可用分母的最高次幂去除分子分母 再取极限. 例8 解 根据题意 此类型的题可总结为 以后直接利用该公式即可. 3 利用柯西准则求极限 定理 设函数在内有定义. 存在的充要条件是对于任意的,存在正数,使得对于任何有 下面证明 不存在。 证明 取,对任何,设正整数,令,,则,
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