经济数学微积分 第4版 教案 第1、2章 函数、极限与连续;一元函数微分学(1).docx

第1章函数、极限与连续

本章知识结构导图

函数的概念与性质

函数的概念与性质

反函数与复合函数

常用的经济函数

数列极限

函数极限

无穷小与无穷大

极限的运算法则

两个重要极限

连续与间断点

连续

连续函数的性质

极限

函数

一、教学要求

1.在初等数学基础上，加深对函数概念的理解和对函数几何特性(单调性、奇偶性、周期性、有界性)的了解。

2.理解反函数、复合函数的定义，会求函数的反函数，会进行函数的复合与分解；了解基本初等函数的定义域、图形与性质。

3.掌握常用经济函数的含义、数学表达，会建立简单经济问题的数学模型。4.理解数列极限、函数极限的描述性定义和性质。

5.理解无穷小的概念和基本性质，会利用无穷小的性质计算极限；理解高阶无穷小、等价无穷小的概念，会比较无穷小。

6.掌握极限的四则运算法则；了解复合函数极限运算法则；熟练掌握极限计算。

7.了解极限存在的两个准则；熟练掌握利用两个重要极限及无穷小等价替换定理计算极限。

8.理解函数连续与间断的概念，会判断函数间断点的类型；理解函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点定理)。

二、教学重难点

1.教学重点：常用的经济函数、无穷小的比较、极限运算法则、两个重要极限、函数连续与间断的概念、函数的连续性

2.教学难点：反函数与复合函数、数列与函数的极限、极限的存在准则、闭区间上连续函数的性质

三、教学内容及课时划分

1.1函数的概念和性质1.2反函数与复合函数1.3常用经济函数介绍1.4数列、函数的极限1.5无穷小与无穷大

1.6极限运算法则

1.7极限存在准则与两个重要极限1.8函数的连续性

习题课

2课时2课时2课时2课时1课时2课时3课时2课时2课时

计18课时

1.1函数的概念和性质教学目的：理解函数的概念、函数的基本性质教学重难点：

1、教学重点：邻域的概念、函数的基本性质2.教学难点：函数的有界性

教学课时：2教学过程：

函数表示了变量之间的相依关系，是微积分的研究对象。本章从讨论函数的概念开始，通过对一般函数特性的概括，引出初等函数，为学习“经济数学”打下基础.

一、区间与邻域

区间分为有限区间与无限区间.有限区间有四个：

开区间(a,b)={x|laxb};闭区间[a,b]={x|a≤x≤b};半开半闭区间(a,b)={x|a≤xb};

[a,b]={x|ax≤b};无限区间有五个：[a,+oo]={x|x≥a};

(a,+oo)={x|xa};[-,a]={x|x≤a};(-,a)={x|xa};

(一0,+oo)=R.

邻域是一种特殊的区间，是后续学习函数极限、微分、积分等知识时常用一个重要概念。

定义1.1设a∈R,δ∈R且δ0,则集合

称为点a的δ-邻域，记

作U(a,δ),也即U(a,δ)=(a-δ,a+δ),正数δ叫做邻域的半径.在数轴上，U(a,δ)

这是以点a为中心，区间长度为2δ的开区间，表示到点a的距离小于δ的所有点的集合。

集合称为点a的去心δ邻域，记作U(a,δ),也即

u(a,8)=(a-8,a)U(a,a+8).

另外，点a的左δ邻域定义为U(a,δ)=(a-δ,a),点a的右δ邻域定义为

U+(a,δ)=[a,a+δ].

当不必指明邻域半径时，上述记号中的正数δ可省略，即邻域、空心邻域、左邻域和右邻域可简记为U(a),),U-(a)和U+(a).

【例1】利用区间表示不等式x2+x-20的全部解.【解】先对不等式左端分解因式，原不等式为

(x+2)(x-1)0,

则x1或x-2.故

{xlx2+x-20}=(-0,-2)U(1,+o).

二、函数的概念1.函数的定义

定义1.2设x,y是两个变量，D是非空实数集，如果对于任意的x∈D,按照某个对应法则f,都有唯一的一个实数y与之对应，则称这个对应法则f是定义在D上的函数。

其中x叫做自变量，y叫做因变量，x的取值范围D叫做这个函数的定义域，通常将定义域记为Df.当x的取遍D,内的所有实数时，对应的函数值y的全体

W,={y|y=f(x),x∈D}叫做这个函数的值域.

习惯上常用y=f(x)表示函数。

2.函数的几点说明

(1)函数的两个要素

定义域与对应法则是函数的两个要素.只有两个函数具有相同的定义域和相同的对应法则时，它们才是相同的函数，否则就不是相同函数.

(2)函数的定义域

在求函数的自然定义域时应遵守以下原