一元函数微分学典型例题.doc

一元函数微分学典型例题 有关左右极限题 求极限 根据左右极限求极限， 极限，，，，，都不存在， 【 1 】 利用两个重要极限公式求1∞型极限 ， ， 【 】 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当时，与等价的无穷小量是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 等价无穷小定义：如果，则称与失等价无穷小，记为∽， 时，（1） 当时，∽，∽∽∽ 【 B 】 利用单调有界准则求极限 设数列满足。证明：极限存在，计算 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递增有上界数列必有极限。 【 0； 】 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： (A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若 存在，则存在 【 】 若，则称函数在点处连续。 左连续右连续则连续。 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数在x=0某领域内有一阶连续导数，且。若在时是比h高阶的无穷小，试确定a, b. 函数在某一点导数的定义： 求函数在某一点导数的步骤：求出函数至的增量；求极限。 在x=0连续，若时, ∽x, 则. 7. 利用左右导数判断函数在一点的可导性 设函数，则f(x)在实数集合内：A处处可导；B恰有一个不可导点；C恰有两个不可导点；D至少有三的步可导的点。 左导数，右导数和导数之间的关系，判断函数在某一点步可导的方法。 函数在x=0点不可导，在0点可导； 当p=0时在0点可导，p0时不可导。 8．隐含数与参数方程所确定的函数求导数 已知函数y=y(x)由方程确定, 则 一元函数隐函数的求导方法：方程两边同时对x求导，解关于的方程； 方法二：令F(x,y)=方程的左边减右边，则。 由参数方程确定的函数求导方法：，二阶导数 9．一元函数的极值相关题 设函数f(x)在全体实数内连续，其到函数的图形如图，则有 A一个极小值点和两个极大值点；B两个极小值点和一个极大值点；C两个极小值点和两个极大值点；D三个极小值点和一个极大值点。 函数极值是一个局部性的概念，它只是局部的最值，函数的极大值甚至比极小值小；而最值是一个区间上的整体性质，有时函数极值正是函数的最值。 利用函数极值的定义和机制的第一充分条件与第二充分条件来判断； 导数为零的点即驻点或者导数不存在的点都可能是极值点。 10．函数不等式的证明 设，证明 证明不等式转化为证明函数在区间上的单调性，甚至多次用到函数的单调性。步骤为：构造函数和区间，证明函数在区间上的单调性，且在某一点处函数取定值。 11．利用洛比塔法则求极限 求极限 1 利用洛比塔法则求极限的步骤：判断未定式为，若不是，化成该型；分子分母求导，得出结果，或者再一次用法则；得出结果。 用洛比塔法则时，有时同等价无穷小量结合起来，可简化运算。 其他类型的未定式等要先化成，然后再计算，通分，利用对数，还可以用特殊极限求解。 12．利用微分中值定理证明等式或者不等式 设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在，使得 中值定理包括：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理．柯西中值定理； 罗尔定理需要满足三个条件； 拉格朗日定理常用形式： 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 利用中值定理证明等式的步骤：构造函数，什么连续单调区间，利用什么中值定理． 证明：记，则，设x1, x2分别为函数f和g的最大值点，则，所以存在． F(x)在［a, c］, [c, b]上用罗尔中值定理，再一次用则得到结论． 13. 泰勒公式相关题目 设函数y=f(x)在(-1, 1)具有二阶连续导数且, 试证 对于(-1, 1)内的任意x不等于0，存在唯一的，使成立； 利用泰勒公式解题的步骤：根据条件写出函数的泰勒公式；将公式变形在解题； 泰勒中值定理的内容：f(x)在含x0的某个开区间（a, b）内具有直到(n+1)阶的导数，则对(