现代控制理论-11案例.ppt

现代控制理论Modern Control Theory(11) 俞 立 浙江工业大学 信息工程学院 李雅普诺夫稳定性方法在控制系统分析中的应用 参数优化问题 系统模型： 选择参数?，使得系统是渐近稳定的，且具有一定性能 性能：稳态性能；动态性能 稳态性能：稳定性、稳态误差 动态性能：上升时间、调节时间、超调、振荡、 稳定性：应用李雅普诺夫方法 问题：动态性能如何刻画？ 系统模型： 考虑函数x(t)的曲线 面积 两个变量： 一般的： Q是对称加权矩阵。 性能指标最小化反映动态性能的优化。 积分二次型 性能指标 选取参数? ，使得系统 稳定 ? 对任意给定的对称正定矩阵R 存在惟一对称正定解矩阵P。 是系统的李雅普诺夫函数，且 对上式积分，并利用渐近稳定性， 即： 通过求解一个代数方程来求积分 性能指标值 其中，P是以下李雅普诺夫方程的对称正定解矩阵： 既保证系统稳定、又使得性能尽可能好的问题转化为 条件极值问题 min s.t. 优化问题的求解方法： 1、求方程，转化为无约束优化问题 2、求稳定点： 例 确定阻尼比 的值，使得在单位阶跃输入下， 最小化。其中 假定系统在初始时刻是静止的。 系统的传递函数是 动态方程是 由于输入r是单位阶跃函数，故 误差方程： 针对 定义状态变量： 性能指标 其中， 由误差状态空间模型： 当 时，系统稳定，故性能指标 其中的矩阵P满足 即 性能指标值 若 ，则 μ减小，强调误差 e(t) 的能量消耗。 基于李雅普诺夫稳定性理论的控制器设计 例 检验系统 的渐近稳定性。若不渐近稳定，则构造一个控制律， 使闭环系统渐近稳定。 解 系统的一个状态空间模型 系统的极点在虚轴上。 根据 系统是振荡的，不是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。 选取李雅普诺夫函数 系统模型 李雅普诺夫函数关于时间的导数是半负定的。 在非零轨线上， 不恒等于零， 闭环系统是渐近稳定的。 离散时间系统的稳定性分析 系统模型： 能量函数： 前向差分： 稳定性条件：存在对称正定矩阵P，使得 定理 线性离散时不变系统渐近稳定的充分必要条件 是：对任意给定的对称矩阵Q，使得矩阵 求解方法： 线性矩阵不等式方法 李雅普诺夫方程方法 存在对称正定解矩阵P。 矩阵Q的取法： 离散时间 李雅普诺夫方程 例 确定系统 渐近稳定的条件。 解 离散时间李雅普诺夫方程 ? 矩阵P正定的条件： ， 这就是系统渐近稳定的条件。