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现代控制理论Modern Control Theory 9 俞 立 浙江工业大学 信息工程学院 第4章 系统的稳定性分析 给定一个静止的系统， （1）给了一个初始扰动，它是否 会恢复到静止状态； （2）在持续扰动下，系统的输出 是否有界； 不同的稳定性概念： （1）李雅普诺夫意义下的稳定性； （2）输入输出稳定性 处理不同的扰动！ 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫第一方法：利用矩阵特征值 李雅普诺夫第二方法：利用能量函数（直接法） 李雅普诺夫（1857－1918） 1892年在博士论文中提出稳定性理论 1907（15年后）出版了法文版 1992（100年后）出版了英文版 当今任何一本控制期刊都有 李雅普诺夫的名字 李雅普诺夫稳定性理论在许多领域存在应用 经典动力学 结构动力学 流体力学 航空动力学 化学动力学 生物学 经济学 控制 李雅普诺夫稳定性理论在许多领域存在应用 Lyapunov稳定性 1。平衡点； 2。通过系统能量来分析稳定性； 3。李雅普诺夫函数。 关键：选取适当的李雅普诺夫函数，给出判别其增加还是减小的方法。 用导数的正负来判别函数的增加或减少； 问题：需要有判别一个函数定号的方法！ 解决方法：二次型函数定号性判据。 优点：1） 用于分析；2）用于设计。 平衡状态 自治系统模型： 假定：初始条件 自治系统有惟一解 使得 成立的状态 xe 称为是平衡状态。 平衡状态 ? 静止状态（时间导数等于零） 对一个系统，可能没有平衡状态； 存在一个平衡状态； 存在无穷多个平衡状态。 ，当 A 为非奇异矩阵时，有惟一平衡状态 当 A 为奇异矩阵时，有无穷多平衡状态 假定：零状态是自治系统 的平衡状态， （非零状态的平衡点可以平移到零状态） n维空间中的任意一个点 到原点距离 称为欧几里德范数（实数中绝对值的推广）。 半径为r的球域： 状态轨线 满足 定义：对自治系统 的平衡状态 xe 0 ，若对任 意给定的 ，存在一个 ，使得只要状态轨线的 初始状态满足 ，由该初始状态出发的状态轨线 满足 那么，系统的平衡状态 xe 0 称为是李雅普诺夫意义下 稳定的。 系统能承受小的扰动！ 定义：对自治系统 的平衡状态 xe 0 ，若该平 衡状态 xe 0 是李雅普诺夫意义下稳定的，且当 t→? 时，始于原点小邻域的轨线满足 x t →0，则平衡状态 xe 0 称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。 完全能承受小的扰动！ 渐近稳定性是局部性质。 需要确定渐近稳定域，吸引域。 大范围渐近稳定。 不稳定：无论从原点多小领域 中出发的状态轨线都难以保持在 原点的小邻域中。 能量函数 李雅普诺夫稳定性理论建立了系统能量与稳定性之间 的关系。 需要有一个抽象的能量函数来描述系统的虚拟能量。 能量函数：状态和时间的标量函数 V x, t 能量函数的定号性：V x 正定：对所有非零的x， V x, t 的正定性：存在正定函数 W x ，使得 对所有非零的x， ， 负定：V x 负定 ? －V x 正定 能量函数 半正定：对所有x， ，且 。 半负定： V x 半负定 ? －V x 半正定。 不定：无论在原点的多么小领域内V x 既可以取到正值，也可以取到负值。 例 是正定的； 是半正定的； （1） （2）对 ， 是负定的； 是不定的。 二次型函数 关于xi 和 xj 的二次多项式。 注意： 和 是同类项。 例 矩阵P是对称的，称为表示矩阵。 二次型函数的定号性就是矩阵P的定号性。 问题：如何判别矩阵P的定号性？ 塞尔维斯特判据 对实对称矩阵 定义各阶顺序主子式 塞尔维斯特判据 矩阵P正定的充分必要条件是 其它重要判别方法：矩阵P正定 ? P的所有特征值为正 例 验证以下二次型是正定的。 3个顺序主子式 因此，二次型是正定的。