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现代控制理论 Modern Control Theory 石大胜利学院 电气信息工程系 第一章 控制系统的状态空间表达式 Chapter 1 State space description of control systems 本章内容 状态变量及状态空间表达式 状态空间表达式的模拟结构图 状态空间表达式的建立(1) 状态空间表达式的建立(2) 状态矢量的线性变换 由状态空间表达式求传递函数阵 离散系统的状态空间表达式 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 第一章 控制系统的状态空间表达式 在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，它能反映系统的全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。 1.1 状态变量及状态空间表达式 1.1 State space description of control systems 1.1 状态变量及状态空间表达式 状态变量 (State variables) 状态：表征系统运动的信息和行为。 状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量。 若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为 x1(t), x2(t), …, xn(t)。 一个系统的状态变量的个数应等于系统独立储能元件的个数（L、C、弹簧、转动惯性、质量块）。 1.1 状态变量及状态空间表达式 状态向量(State vectors) 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态向量x(t),并可表示如下: 1.1 状态变量及状态空间表达式 状态空间 (State space) 以各状态变量x1(t),x2(t),…… xn(t)为坐标轴所构成的n维空间。 状态轨迹：在特定时刻t，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x(t)将在状态空间描绘出一条轨迹线。　 状态方程 (State equations) 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。 例1.2 设有一质量弹簧阻尼系统。试确定其状态变量和状态方程。 1.1 状态变量及状态空间表达式 输出方程 (Output equation) 系统的输出量与状态变量之间的关系。 在例1.1系统中，指定 作为输出，输出一般用y表示，则例1.1的输出方程为： 1.1 状态变量及状态空间表达式 状态空间表达式(Description of state space) 状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式 它构成对一个系统动态行为的完整描述。 单输入—单输出定常系统的状态空间表达式为： A：为系统内部状态的联系，称为系统矩阵 B：为输入对状态的作用，称为控制矩阵（输入矩阵） C：为输出矩阵 1.1 状态变量及状态空间表达式 状态空间表达式(Description of state space) 多输入—多输出系统状态空间表达式为： 1.1 状态变量及状态空间表达式 状态空间表达式的系统框图 1.2状态空间表达式的模拟结构图 Simulation structural diagram of state space 1.2状态空间表达式的模拟结构图 模拟结构图(Simulation structural diagram) 用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，模拟（系统）结构图主要有三种基本元件: 积分器、加法器、比例器 其表示符如下图所示。 1.2状态空间表达式的模拟结构图 模拟结构图绘制步骤(Drawing Procedures) 积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量； 根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器； 最后用箭头将这些元件连接起来。 1.2状态空间表达式的模拟结构图 1.2状态空间表达式的模拟结构图 1.2状态空间表达式的模拟结构图 已知状态空间表达式，可画出相应的模拟结构图。 画出如下状态表达式的模拟结构图 1.2状态空间表达式的模拟结构图 模拟结构图如下： 1.3 状态空间表达式的建立(1) 1.3 Establishment of state space description (1) 1.3 状态空间表达式的建立(1) 用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。 建立表达式三个途径： 由系统传递函数方块图来建立； 从系统的物理或化学的机理出发进行推导； 由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。 1.3 状态空间表达式的建立(1) 从系统框图出发建立状态空间表达式 将系统传递函数方块图的各