第五章方程组-量和矩阵范数+误差分析4,5.ppt

范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的长度能否定义呢? 也称为向量空间 向量和矩阵范数 1 向量和矩阵范数 /* Norms of Vectors and Matrices */ —— 为了误差的度量 ? 向量范数 /* vector norms */ 定义 　　　Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： （正定性 /* positive definite */ ) 对任意 (齐次性 /* homogeneous */ ) （三角不等式 /* triangle inequality */ ) 常用向量范数： ? = = n i i x x 1 1 | | || || v ? = = n i i x x 1 2 2 | | || || v p n i p i p x x / 1 1 | | || || = ? = v | | max || || 1 i n i x x ? ? ? = v 注： 例.求下列向量的各种常用范数 解: 定义 　　　向量序列 收敛于向量 是指对每一个 1 ? i ? n 都有 。 可以理解为 定义 　　　若存在常数C 0 使得对任意 有 , 则称范数 || · ||A 比范数 || · ||B 强。 定义 　　　若范数 || · ||A 比|| · ||B 强，同时|| · ||B 也比|| · ||A 强，即存在常数 C1、C2 0 使得 ，则称 || · ||A 和|| · ||B 等价。 定理 Rn 上一切范数都等价。 可以理解为对任何向量范数都成立。 ? 矩阵范数 /* matrix norms */ 定义 　　　Rm?n空间的矩阵范数 || · || 对任意 满足： （正定性 /* positive definite */ ) 对任意 (齐次性 /* homogeneous */ ) （三角不等式 /* triangle inequality */ ) (4)* || AB || ? || A || · || B || （相容 /* consistent */ 当 m = n 时) 常用矩阵范数： Frobenius 范数 — 向量|| · ||2的直接推广 对方阵 以及 有 利用Cauchy 不等式 可证。 算子范数 /* operator norm */ 由向量范数 || · ||p 导出关于矩阵 A ? Rn?n 的 p 范数: 则 特别有： （行和范数） （列和范数） （谱范数 /* spectral norm */ ） 矩阵 ATA 的最大 特征根 /* eigenvalue */ 例. 解: 类似于向量的2-范数 不过 是对称阵，且 例. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 不是算子范数 使用最广泛 性质较好 较少使用，但与 向量2范数相容， 又较易计算，有 时用来估计 注：? Frobenius 范数不是算子范数。 ? 我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的。 ? 即使 A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量 /* eigenvector */ 仍可能是复数。将上述定义中绝对值换成复数模均成立。 若不然，则必存在某个向量范数 || · ||v 使得 对任意A 成立。 Counterexample ? ? 谱半径 /* spectral radius */ 定义 　　　矩阵A的谱半径记为 ? (A) = ，其中?i 为 A 的特征根。 Re Im ? ? ? ? ? ? ? ? ? (A) 定理 对任意算子范数 || · || 有 证明： 由算子范数的相容性，得到 将任意一个特征根 ? 所对应的特征向量 代入 定理 若A对称，则有 证明： A对称 若? 是 A 的一个特征根，则?2 必是 A2 的特征根。 又：对称矩阵的特征根为实数，即 ?2(A) 为非负实数， 故得证。 对某个 A 的特征根