一元二次方程的解法及韦达定理.doc

印象剑桥培训讲义专用-九年级数学 PAGE 5 - 一元二次方程专题 一元二次方程的解法及韦达定理 编号： 撰写人： 审核： 一、一元二次方程的解法： 例题1： 用配方法、因式分解、公式法解方程： x2-5x+6=0 【总结】 以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？ 【一元二次方程的解法总结】 1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。方程的解为x=± 推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。 注意点：①二次项的系数为1，且a≥0 ②如果a为根式，注意化简。 例1：解方程：5x2=1 例2：解方程：x2= 例3：解方程：4x2+12x+9=12 2、配方法： 对于形如：ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。 步骤：①把二次项的系数化为1. 两边同时除以a，可以得到： X2+ x+ =0 ②配方： （x+ ）2+c- =0 ③移项： （x+ ）2=-c ④用直接法求出方程的解。 X=-± 注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。 例： 解方程：x2+x=1 3、公式法： 对于形如：ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。 根据配方法，我们可以得到方程的解为： X=-± 进一步变形，就可以知道：形如：ax2+bx+c=0（其中a≠0）的方程的解为： x1=，x2= 注意点： 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。 解题步骤要规范。 例: 解方程：x2+5x+2=0 除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。 4、换元法 对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。 例1： 解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0 例2： 解方程： 5、有理化方法： 对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。 例： 解方程： 6、主元法： 对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。 例：解方程 除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？ 二、判别式的运用： 我们知道： 方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为： x1=，x2= 其中，我们把：=b2-4ac称之为判别式 当0的时候，方程有两个不同的实数根。 当=0的时候，方程有两个相同的实数根。 当0的时候，方程没有实数根。没有实数根与没有根是两个不同的概念。 判别式的运用： （1）求方程系数的取值范围。 例：已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a的取值范围。 （2）求最大值最小值的问题。 例1：求的最大值和最小值。 例2：已知a0,b0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。 三、韦达定理 对于方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为： x1=，x2= 那么就有：x1+x2= ,x1x2= . 除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的： （1）|x1-x2|= （2）+ = (3) = 注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。 下面给出公式（1）的推理： |x1-x2|== 韦达定理的应用： 1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。 例题1： 如果关于x的方程： 例题2：已知关于x的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。 2、构造方程进行计算： 例题1：已知3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。求|a-b|的值 例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。 例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD面积的最小值。 一元二次方程习题 1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。 【举一反三】 例题1：Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。 例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。 2、解方程： （1）x2-2=-2x； （2）x（x-3）+x-3=0；??? （3）4x2+12x+9=81