《微积分课件1-2数列的极限》课件.ppt

* * * * * * 第二节 数列的极限 二 收敛数列的性质 一 数列极限的定义 三 小节与思考判断题 一、数列极限的定义 例如 1.数列 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 播放 2.数列的极限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立, 那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 例2 证 所以, 注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意给定 寻找 ,但不是求最小的 . 例3 证 二、收敛数列的性质 1.收敛数列的唯一性 定理1 收敛的数列只有一个极限. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 例4 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 2.收敛数列的有界性 注1 有界性是数列收敛的必要条件. 注2 无界数列必定发散. 数列 注3 有界数列不一定收敛. 数列 3.收敛数列的保号性 定理3 数列的子数列 子数列(子列):在数列 中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,称为原数列的子列. 记作 即 其中 例如 自然数列 4.收敛数列与其子列的关系 推论1 如果数列 有一个子列发散,则数列 发散. 推论2 如果数列 有两个子数列不同的极限则 数列 发散. 例如 数列 因为它有两个子列 分别收敛于1和-1两个不同的数值. 数列极限：极限思想，精确定义， 几何意义. 收敛数列的性质: 有界性, 唯一性, 保号性. 收敛数列与子数列的关系. 三、小结与思考判断题 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 谢谢！ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *