高数第二章习题课一精要.ppt

高等数学 习题课一 一、导数和微分 (一) 导数的概念及应用 3、 函数连续与可导性的关系 (二) 初等函数的导数 2、复合函数求导法 4、基本初等函数的导数公式（如书） 5、高阶导数常用公式 (三) 由参数方程确定的函数的导数 （四) 隐函数的导数 （五）幂指函数的导数和对数求导法 （六）利用导数定义解决的问题 6、 函数的微分 （3） 微分的运算法则 7、 微分的应用 二、 导数和微分的求法 1、利用导数的定义求极限 例2.设 例3. 例4 设 2、复合函数求导 4、隐函数求导 例9 5、参数方程求导 例11 设 判别: 例12 例13 已知 例14 设函数 例15 设函数 例16 设函数 作业 1、求下列函数的导数 1、 求下列函数的导数 1、 求下列函数的导数 1、 求下列函数的导数 1、 求下列函数的导数 2、 设函数 3、 设 4. 求下列极限 4. 求下列极限 4. 求下列极限 5、 6、 9、 确定常数 是由方程 确定，求 解： 方程两边同时取对数 取微分 是由方程 所确定。求 解：利用一阶微分形式的不变性， 将 x = 0 代入原方程，得 y ＝1 代入上式，得 方程两边同时微分 是由方程 所确定，求 利用一阶微分形式的不变性，方程两边同时微分： 将 x = 0 代入原方程，得 y ＝1 解 将 x = 0 y ＝1 代入上式，整理得 P166 自测题二 1; 2; 3; 4; 5; 6; 9 自测题 第二章一元函数微分学 解： 解： 解： 解：方法一 等式两边取对数得 方程两边求导得 则 解：方法二 等式为 方程两边求导得 则 解： 解：等式两边取对数得 方程两边求导得 则 解： 方程两边对x求导得 则 由方程 所决定， 求 因 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 故 直接将 代入上式得 方程两边再对x求导得 将 代入上式得 求 解： 解法一: 原式 令 解法一: 原式 解法二： 原式＝ 解法一： 原式＝ * 主讲教师: 王升瑞 第十三讲 一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法 一元函数微分学 第二章 导数和微分是微分学的两个重要的概念， 导数反映了当自变量变化时函数变化的快慢程度； 而微分是函数增量的线性主部。 这两个是不同的概念，但它们之间有着密切的联系。 1、导数的定义 : 当 时,为右导数 特别 导函数 时,为左导数 当 4、导数的几何意义 在几何上表示曲线 y = f ( x ) 在点 切线方程 法线方程 可导 连续 即:连续是可导的必要条件。 切线的斜率，即 5、高阶导数的定义 形式上和一阶导数类似，如 1、函数的和、差、积、商求导法则 若 可导，则 熟悉导数及微分的计算是本章的基本要求之一， 除了掌握基本初等函数的求导公式、 求导四则运算 法则、反函数、复合函数的求导法则外， 对一些特殊 函数的求导方法， 如：隐函数求导法则；参数方程所确 定的函数的求导方法，及对数求导法也应熟悉。 或 1、在具体求导时必须注意分析函数复合过程与 亦可导， 中间变量。计算时应由外层逐一向内层计算。 注： 2、在需要时，可能要引入中间变量， 求完导数后， 最后的结果不应该保留中间变量。 3、反函数求导法 设 是单调连续函数，在点 y 处可导，且 则其反函数 f ( x ) 在对应点 x 处也可导，且有 若 对参变量 t 可导，则 y 对 x 的导数： （逐项求导） 求隐函数的二阶导数的两种方法 1、求出 对 x 再求一次导数， 应注意： 的表达式中 即 y 是 x 的函数。 2、方程两边对 x 连续求两次导数， 然后解出 称为幂指函数， （不是指数函数或幂函数） 其求导方法 1、用对数求导法， 两边取对数，得： 两边对 x 求导得： 2、将其化为 利用复合函数的求导法则求出 5)微分在近似计算与误差估计中的应用 4)用导数定义求极限 2) 求分段函数在分界点处的导数（左、右导数存在 并相等），及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; （1）微分的定义 设 在 x 的某领域内有定义，若 （A是与 无关的常数） 则称 的线性主部 是 在 x 处的微分。 记为： 微分的两个特点： 1） 是关于自变量增量 的线性函数。 2） （2） 可导与可微的关系 可导 可微 设 是可微函数 （4） 一阶微分形式的不变性