2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第3章 函数中考专题3 二次函数综合题(针对省卷27题).pptx

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究

中考专题三二次函数综合题(针对省卷27题)

线段问题(省卷：5年4考)考点11类型1单条线段最值问题如图，二次函数的图象与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，连接BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点．例1

平行于y轴的线段最值问题解题思路：点P和点Q的横坐标相等，则PQ的长等于点P的纵坐标减去点Q的纵坐标，再利用二次函数性质求出线段最值．平行于x轴的线段最值问题解题思路：将平行于x轴的线段转化为平行于y轴的线段．这里可以利用相似三角形或者三角函数值，例如解图1中的△PMQ∽△OBC，从而得到PM与PQ的数量关系，从而将PM的最值问题转化为PQ的最值问题；或者利用在不同直角三角形中，相等的角对应的三角函数值相等得到PM与PQ的数量关系，最后利用二次函数性质求出线段最值．垂直于某条直线的线段最值问题解题思路：化“斜”为“直”，即将PM的最值问题转化为PQ的最值问题，利用相似三角形或者三角函数值将其转化，最后利用二次函数性质求出线段最值．通性通法

类型2PA＋PC型线段和最小值问题(将军饮马模型)如图，已知二次函数y＝－＋2的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB＋PC取得最小值时，求点P的坐标．例2例2题解图【自主作答】解：如解图，连接AC交对称轴于点P，连接PB，P点即为所求．

类型3周长最小值问题如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．例3【自主作答】

如解图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴交于点P，则此时△PAB的周长最小．∵点A′的坐标为(－1，2)，点B的坐标为(4，5)，

如图1，两定点A,B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小，最小值为A′B.如图2，点P在∠AOB内部，在射线OA上找点C，在射线OB上找点D，使得△PCD的周长最小，最小值为P′P″.如图3，点P,Q在∠AOB内部，在射线OA上找点C，在射线OB上找点D，使得四边形PQDC的周长最小，最小值为P′Q′＋PQ.如图4，两定点A，B在直线l同侧时，MN＝a，且线段MN在直线l上滑动，使得AM＋BN最小，最小值为AB″.通性通法

类型4BD＋CE型线段和最小值问题(逆等线模型)[2022省卷28题节选]如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋3)(x－a)与x轴交于A，B(4，0)两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点(点D，E不与点A，B，C重合)．例4

(1)求此抛物线的表达式；

(2)如图2，连接BD，CE，当CD＝AE时，求BD＋CE的最小值．解：如解图，在AB下方作∠EAQ＝∠DCB且AQ＝BC，连接EQ,CQ.∵AE＝CD，∴△AEQ≌△CDB，∴EQ＝BD，∴当C,E,Q三点共线时，BD＋CE＝EQ＋CE最小，最小为CQ.过点C作CH⊥AQ，垂足为H.∵OC⊥OB，OC＝OB＝4，∴∠CBA＝45°，BC＝.∵∠CAH＝180°－∠CAB－∠EAQ＝180°－∠CAB－∠DCB＝∠CBA＝45°，

逆等线模型的一般情况：①题目中有双动点；②首尾不相连的等线段．如图，点D，E在AB，AC边上运动，且AD＝CE，求CD＋BE的最小值．①双动点：E和D；②首尾不相连的等线段：AD＝CE，符合逆等线模型．解题思路：动点运动过程中，始终有AD＝CE，利用AD＝CE构造全等，从而将要求和的两条线段拼接在一起，转化为两定一动的问题，就是我们熟悉的“将军饮马”问题了．通性通法

1．[2024省卷27题]如图1，抛物线y＝a(x－h)2＋k交x轴于O，A(4，0)两点，顶点为B(2，)，点C为OB的中点．(1)求抛物线y＝a(x－h)2＋k的表达式；

(2)过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E.求线段CE的长；

2.[2023省卷27题]如图1，抛物线y＝－x2＋bx与x轴交于点A，与直线y＝－x交于点B(4，－4)，点C(0，－4)在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．(1)求抛物线y＝－x2＋bx的表达式；解：∵抛物线y＝－x2＋bx过点B(4，－4)，∴－16＋4b＝－4，∴b＝3，∴y＝－x2＋3x.

(2)当BP＝时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说