8-2微积分(下) 中南财经政法大学.ppt

多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的任意性） 四、小结 多元函数的定义 思考题 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取 第二节 多元函数的概念 一、多元函数的定义 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性 四、小结 （1）邻域 一、多元函数的定义 （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 有界闭区域； 无界开区域． 例如， （5）二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 （6）二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 左图球面. 二、多元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 求证 证 当 时， 原结论成立． 又 (有界量) (无穷小量) 无穷小量的性质 由于 另解： 由于 而 故由夹逼定理, 得 夹逼定理 解 例3 有理化 (平方差公式) 解 例4 等价无穷小替代 解 例5 利用重要极限 此题另一解法 解 利用重要极限 例6 例7 求极限 解 其中 例8 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 确定极限不存在的方法： 三、多元函数的连续性 定义8.3 例9 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 与一元函数类似： 和、差、积、商(分母不能为零)仍是 仍是连续函数； 连续的多元函数的复合函数仍连续. 在一定的条件下, 连续的二元函数的 二元函数连续函数的运算 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 例10 解 有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理