三、二次型的矩阵及秩.ppt

一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题 思考题解答 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题 二、二次型的表示方法 一、二次型及其标准形的概念 第五节 二次型及其标准形 第五章 相似矩阵及二次型 称为二次型. 定义8 含有 n 个变量的x1，x2，…，xn二次齐次函数 一、二次型及其标准形的概念 当aij 为复数时，f 称为复二次型。 当aij 为实数时，f 称为实二次型。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 1．用和号表示 对二次型 二、二次型的表示方法 2．用矩阵表示 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 三、二次型的矩阵及秩 对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵； f 叫做对称矩阵 A 的二次型。 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩。 解 例１ 设 　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 四、化二次型为标准形 证明 ( ) ( ) . , , , , A R B R B A AC C B C T = = 且 也为对称矩阵 则 矩阵 为对称 如果 令 任给可逆矩阵 定理 即 为对称矩阵. 定义9 设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C，使 B = C T A C ，则称矩阵 A 与 B合同。 说明 定理8 推论 任给 n 元二次型f ( x )= xT A x ( AT =A),总有可逆变换 x =C z,使f ( C z)为规范形。 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 解 例3 二次型的矩阵为 　　1.　实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法． 　　2.　实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法． 五、小 结 化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面. 求一正交变换，将二次型 思 考 题