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解三角形题型分类总结

问题一：利用正弦定理解三角形

1.(2010年广东卷文)已知：?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a?c? 6? 2且

?A?75，则b?( A)

A.2 B．4＋2 3 C．4—2 3 D． 6? 2

在?ABC中，若b?5，?B??,sinA?1，则a? .

4 3

3.（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则范围为 .

AC

cosA的值等于 ，AC的取值

问题二：利用余弦定理解三角形

1.（2010全国卷Ⅱ文）已知：△ABC中，cotA??12，则cosA? ( )

5

12 5

B.

C.?5

D.?12

13 13 13 13

2.设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a?1，b?2，cosC?1.

4

（Ⅰ）求?ABC的周长

（Ⅱ）求cos?A?C?的值.

3.（2010重庆文数）设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b2+3c2-3a2=4 2bc.

2sin(A??)sin(B?C??)

(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求

4 4 的值.

1?cos2A

若条件改为：3sin2B?3sin2C?3sin2A?4 2sinBsinC？

在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosB=- b .

cosC 2a?c

求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.

问题三：正弦定理余弦定理综合应用

1.（2011山东文数）在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA-2cosC=2c-a．

cosB b

sinC

（I）求

1

的值；（II）若cosB=

， ABC的周长为5，求b的长.

sinA 4

【注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”

acosC?1c?b

考虑以下式子：

2 ，(2a?c)cosB?bcosC，(2a?c)cosb?bcosC?0

2.（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2?c2

且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

?2b，

【注】对已知条件(1)a2?c2?2b左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件

(2)sinAcosC?3cosAsinC,化角化边都可以。

3．在?ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB?sinC? 3，试判断?ABC的形状。问题四：三角恒等变形

1.（08重庆）设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60 ，c=3b.求：

a

（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值.

【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：sin2??cos2??1,1?tan2??sec2?,1?cot2??csc2?

倒数关系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1,

商数关系：tan??sin?

cos?

,cot??

cos?sin?

2.（2009江西卷理）△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，

tanC?sinA?sinB

cosA?cosB

sin(A?B)

思考：1若sin(A?B)

,sin(B?A)?cosC.（1）求A,C；（2）若S

??a?c

c

求B。

?ABC

?3? 3,求a,c.

2若sin22C?sin2CsinC?cos2C?1，求C3若 3tanAtanB?tanA?tanB? 3，求C

问题五：判断三角形形状

在△ABC中，，bcosA＝acosB，试判断?ABC三角形的形状.

cosA b

在△ABC中，若 ＝cosB a

，试判断

?ABC

三角形的形状.

在△ABC