山东建筑大学《概率论与数理统计》作业ch6-1-2.doc

概率论与数理统计作业13（§6.1～§6.2） 一、填空题 若X是离散型随机变量，分布律是，（是待估计参数），则似然函数，X是连续型随机变量，概率密度是，则似然函数是。 若未知参数的估计量是，若,称是的无偏估计量。设是未知参数的两个无偏估计量，若,则称较有效。 对任意分布的总体，样本均值是 的无偏估计量。样本方差是 的无偏估计量。 设总体，其中是未知参数，是的一个样本，则的矩估计量为，极大似然估计为。 二、计算题 1. 设总体服从几何分布: 如果取得样本观测值为求参数的矩法估计量和极大似然估计。 解 先求矩法估计量： 令解得的矩估计量为 再求极大似然估计 构造似然函数: 令 解得p的极大似然估计值为 2.设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的容量为n的简单随机样本，（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计。 解 令 解得的矩估计量为 对于总体的样本值, 似然函数为 当时, , 取对数得 , 对求导数，得 　　　　　， 令　　解得　， 于是的最大似然估计值为 ． 3. X的概率分布为，其中是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和最大似然估计值。 解： 令 解得的矩估计值为 对于给定的样本值,似然函数为 令 解得 又 ，不合题意. 故的最大似然估计值为 设某种元件的使用寿命X的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体X的简单随机样本，（1）求总体X的分布函数；（2）求的最大似然估计量；（3）用做的估计量，讨论它是否具有无偏性。 解：(1) 当 当 (2) 对于给定的样本值,似然函数为 故是的增函数，当取得最大值时，最大。 而 故的最大似然估计量 (3) 先求的分布函数。 = = = = 概率密度为 因为 =， 所以作为的估计量不具有无偏性.