大一上作业线性代数.pptx

§3向量组的秩;例.a1=(1,2)a2=(0,1),a3=(2,1);例1（P92例8）.全体n维向量构成的向量组记

做Rn，求Rn的一个极大无关组和秩.;注1.一个向量组线性无关?它的秩等于它所含的向量个数.;证：设R(A)=r，;2.A的列向量组中任意r＋1个向量线性相关.;R(A)=2;（1）如果D是矩阵A的一个最高阶非零子式，

那么D所在的r行（列）就是A的行（列）向

量组的一个极大无关组.;证：设A0含有r个向量，则R(A0)=r.;例2（P93例11）设;非零行数为3，故R(A)=3.;列向量组的秩为3，;请关注存在单位阵的列—1、2、4列.不难看出：;求解程序：;a1,a2,a4是极大无关组.;结论：一个向量组与它的极大无关组等价.;例3.求A的极大无关组和秩，其中向量组A：;问：如何将其余向量用极大无关组线性表出？;解：令;例3是一个讨论行向量组的极大无关组

和秩的问题.无论是讨论行向量组还是讨论列向量组的秩都是做矩阵的初等行变换，但是求极大无关组及其表出时要有区别.;定理2?（P92）向量组B：b1,b2,...,bs能由向量组A：a1,a2,...,am线性表示?;推论?向量组B：b1,b2,...,bs与向量组

A：a1,a2,...,am等价;以上讨论的都是向量组中向量个数有限的情形.当向量组中向量个数无限时，对于向量组秩的结论仍然成立，此时只要用向量组的极大无关组代替向量组即可.;定理3（P92）若向量组B能由向量组A线性表示，则R(B)≤R(A).;;;;;;推论：等价的向量组其秩相等.;法一（R(A,B)=R(A)=R(B)）：;法二（A的极大无关组可由B的表出)：;∵R(b1,b2,...,br)≤R(Kr);例5已知;证法一(P85定理2的推论)：;证法二（a1,a2与b1,b2互相线性表示）：;;∴a1,a2与b1,b2等价.;证法三（等价于同一个向量组）：;证法四(同一向量组的极大无关组等价)：