数学分析考试大纲.docx

硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲

考试科目:数学分析

单元一：集合与映射

正确了解集合的概念、掌握集合的运算，正确理解映射与函数的概念，熟练地使用函数的记号，知道函数的单调性、周期性，奇偶性和有界性，熟练掌握两个常用不等式，了解基本初等函数、复合函数、反函数、初等函数的概念，熟练掌握基本初等函数的图形，能将简单实际问题中的函数关系表达出来。

知识点1：集合

主要内容：集合的概念，集合的运算，有限集与无限集。

知识点2：映射与函数

主要内容：映射的概念，初等函数，函数的表述方法，函数的特性，常用不等式。

单元二：数列极限

正确理解上下确界的概念，熟练掌握数列极限定义，理解极限思想，能正确应用数列极限性质，四则运算法则，能正确理解无穷大量、无穷小量的概念，两者之间关系，熟练应用Stolz定理，能正确理解和熟练使用单调有界数列收敛定理，正确理解和掌握闭区间定理、子列、Bolzano-Weierstrass定理、Cauchy收敛原理，实数系的完备性。

知识点1：实数系的连续性

主要内容：实数系，最大数与最小数，上确界与下确界

知识点2：数列极限

主要内容：数列与数列极限的概念，数列极限的性质，数列极限的四则运算。

知识点3：无穷大量

主要内容：无穷大量的概念，Stolz定理。

知识点4：收敛准则

主要内容：单调有界数列收敛定理，闭区间套定理、子列、Bolzano-Weierstrass定理、Cauchy收敛原理，实数系的基本定理。

单元三：函数极限与连续函数

理解函数极限的概念，熟练地用定义证明极限，掌握函数极限的性质，熟练地掌握函数极限、四则运算，函数极限与数列极限的关系，熟练地使用两个重要极限，求极限，理解函数在一点连续、间断的概念；知道间断点的分类及判定，知道初等函数的连续性，连续函数的四则运算，复合函数及反函数的连续性，熟练掌握无穷小量，无穷大量的比较，知道并会用闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点存在定理、中值定理），并且会证明这些定理，理解一致连续的概念，熟练掌握函数在区间上一致连续的充分必要条件和Cantor定理。

知识点1：函数极限

主要内容：函数极限的定义，性质，四则运算，函数极限与数列极限的关系，单侧极限。

知识点2：连续函数

主要内容：连续函数的定义，连续函数的四则运算，不连续点类型，反函数连续性定理，复合函数的连续性定理。

知识点3：无穷小量与无穷大量的阶

主要内容：无穷小量的比较，无穷大量的比较，等价量。

知识点4：闭区间上的连续函数

主要内容：有界性定理，最值定理，零点存在定理，中值定理，一致连续概念及判别定理。

单元四：微分

教与学要求：理解导数与微分的概念，知道导数的几何意义，会用导数求平面曲线的切线与法线，了解可导与可微之间关系，了解可导与连续之间关系，牢记导数的基本公式，熟悉导数与微分运算法则，能熟练计算函数的导数与微分，会求隐函数、参数方程、反函数的导数与微分，理解高阶导数与高阶微分的概念，并会求高阶导数与高阶微分。

知识点1：微分与导数

主要内容：微分概念的导出背景，微分的定义，微分和导数的关系。

知识点2：导数的意义和性质

主要内容：导数概念的导出的实际背景，导数的几何意义，单侧导数。

知识点3：导数的四则运算和反函数求导法则

主要内容：导数的基本公式，求导的四则运算法则，反函数求导法则。

知识点4：复合函数求导法则及其应用

主要内容：复合函数求导法则，一阶微分形式不变性，隐函数求导与微分，复合函数求导法则的其他应用。

知识点5：高阶导数和高阶微分

主要内容：高阶导数的实际背景及定义，高阶导数的运算，高阶微分的定义及运算。

单元五：微分中值定理及其应用

理解极值概念，掌握Fermat引理，理解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，并会用这些定理，掌握构造函数的思想，熟练地使用L′Hospital法则求极值，了解插值多项式，熟练地掌握Taloy公式及其应用，能用导数求函数极值，判定函数的增减性，凹凸性，求曲线的拐点，渐近线，并会用分析法作图，会解决实际问题中的简单的最大值、最小值问题，知道曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径，了解数学建模的思想，了解函数方程的近似求解。

知识点1：微分中值定理

主要内容：函数极值与Fermat引理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，用微分中值定理讨论函数的性质。

知识点2：L′Hospital法则

主要内容：待定型极限和L′Hospital法则，可化为型或型的极限。

知识点3：函数的Taloy公式及其应用

主要内容：函数的Taloy公式，函数的Taloy公式的应用。

知