2025高考数学二轮专题复习思想方法第1讲函数与方程思想 .docx
高考命题中，以知识为载体，以能力立意，以思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想方法主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等.
第1讲函数与方程思想
思想概述函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.
方法一运用函数相关概念的本质解题
在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.
例1(1)已知函数f(x)=(3a-1)x+4a(x1),ax(x≥1),满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有[f(x1)-f(x2)](
A.17，1
C.16，1
(2)对于函数f(x)(x∈D)，若存在常数T(T0)，使得对任意的x∈D，都有f(x+T)≤f(x)成立，我们称函数f(x)为“T同比不增函数”.若函数f(x)=kx+cosx是“π3同比不增函数”，则实数k的取值范围是(
A.3π，+
C.-3π，
[规律方法]解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定义推导即可.
方法二利用函数性质解不等式、方程问题
函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题.
例2(1)已知函数f(x+2)=log3(3x+3-x)，若f(a-1)≥f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为()
A.(-∞，-2]
B.-2
C.(-∞，-2]∪[0，+∞)
D.(-∞，-2]∪4
(2)设x，y为实数，满足(x-1)3+2023(x-1)=-1，(y-1)3+2023(y-1)=1，则x+y=.?
[规律方法]函数与方程的相互转化：对于方程f(x)=0，可利用函数y=f(x)的图象和性质求解问题.
方法三构造函数解决数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果.
例3已知ε0，x，y∈-π4，π4，且ex+εsiny=eysinx
A.cosx≤cosy B.cosx≥cosy
C.sinx≤siny D.sinx≥siny
[规律方法]在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系使问题明晰化.
答案精析
例1(1)C(2)B
例2(1)B[设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)，则其定义域为R，
因为g(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)，
所以g(x)为偶函数，
所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，
设y=3x+3-x，
则y=3xln3-3-xln3
=(3x-3-x)ln3，
令y0，则3x-3-x0，得x0，
所以y=3x+3-x在(0，+∞)上单调递增，
因为函数y=log3x为增函数，
所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以f(x)在[2，+∞)上单调递增，
因为f(a-1)≥f(2a+1)，
所以|a-1-2|≥|2a+1-2|，
所以(a-3)2≥(2a-1)2，
化简得(a+2)(3a-4)≤0，
解得-2≤a≤43
所以实数a的取值范围为-2，
(2)2
例3A[构造f(x)=sinx
x∈-π
则f(x)=cosx
当x∈-π4，π4时，cos
f(x)=cosx-sin
所以f(x)=sinxex
因为0ex，0ey，
当sinxex+ε=siny
则0sinysinx，
所以0sinyey
所以0yxπ4
又y=cosx在0，
所以cosxcosy；
当sinxex+ε=siny
则sinxsiny0，
所以sinxex
所以-π4xy0，又y=cosx在-
所以cosxcosy；
当x=y=0时，
满足ex+εsiny=eysinx，
此时cosx=cosy.
综上所述，cosx≤cosy.]